Cùng một đồng xu. Cùng một cạnh. Cùng một hướng, mỗi lần. Một người nhân lên khối tài sản và người kia kết thúc ở con số không - và lý do là phép tính số học mà anh ta chưa bao giờ buồn kiểm tra.
Hai người ngồi xuống với cùng một ván cược. Một đồng xu hơi nặng về một phía, mặt ngửa xuất hiện 55% số lần. Cược vào mặt ngửa và bạn thắng tiền ngang bằng - mạo hiểm một đô la để kiếm một đô la. Cược vào mặt sấp và bạn chỉ đơn giản là sai thường xuyên hơn. Cả hai người đều hiểu hoàn hảo về đồng xu. Cả hai đều cược mặt ngửa, mỗi lần. Không có thông tin ẩn, không có nguồn dữ liệu nhanh hơn, không có bí mật. Họ có cùng một lợi thế.
Chạy nó qua một nghìn lần tung và một trong số họ trở nên giàu có. Người kia phá sản, và không phải vì đồng xu quay lưng lại với anh ta. Anh ta phá sản trên một đồng xu đã nghiêng về phía anh ta trong suốt thời gian đó. Khoảng cách giữa hai người không phải là kiến thức. Đó là năm công thức, và không có công thức nào là khó. Đây là toàn bộ sự khác biệt giữa một nhà phân tích định lượng (quant) và một con bạc, được viết ra.
1. Kỳ vọng (Expectancy) - có lợi thế nào không?
E = (W × A) - (L × B)
Kết quả trung bình trên mỗi lần cược. W = tỷ lệ thắng, A = số tiền thắng trung bình, L = tỷ lệ thua, B = số tiền thua trung bình.
E = (0,55 × 1) - (0,45 × 1) = +0,10 mỗi đô la
Kỳ vọng là điều đầu tiên một quant tính toán và thường là điều duy nhất một con bạc hiểu đúng. Đồng xu của chúng ta trả mười xu trên một đô la, trung bình, mỗi lần nó được tung. Đó là một lợi thế thực sự. Một sòng bạc sẽ làm bất cứ điều gì để có được nó. Cho đến nay, quant và con bạc đang đứng trên cùng một nền tảng, cùng nắm giữ +0,10.
Đây là điều mà con bạc không nhận thấy. Kỳ vọng cho bạn biết liệu có nên ngồi vào bàn chơi hay không. Nó không nói gì về cách tồn tại một khi bạn đã ngồi xuống. Một con số dương ở đây là tấm vé vào cửa, không phải là chiến lược. Con bạc đọc "+0,10" là "Tôi sẽ thắng." Quant đọc nó là "Tôi được phép chơi - bây giờ công việc thực sự bắt đầu." Mọi thứ tiếp theo là về bốn câu hỏi mà kỳ vọng không thể trả lời.
2. Biến động (Volatility) - tiếng ồn xung quanh lợi thế lớn đến mức nào?
σ = √( E[X²] - μ² )
Sự dao động điển hình của một lần cược đơn lẻ xung quanh giá trị trung bình của nó.
lợi thế = 0,10 σ ≈ 0,99 tín hiệu / nhiễu ≈ 0,10
Lợi thế là mười xu. Sự dao động trên bất kỳ một lần tung nào là khoảng một đô la. Tỷ lệ đó là toàn bộ vấn đề. Lợi thế của bạn là một tiếng thì thầm bị chôn vùi bên trong một tiếng gầm lớn gấp mười lần nó. Trên một lần cược đơn lẻ, và trên mười lần cược, và trên năm mươi lần cược, tiếng ồn hoàn toàn nhấn chìm tín hiệu. Lợi thế là có thật, nhưng nó vô hình trong ngắn hạn.
Đây là nơi con bạc mất phương hướng mà không cần động đến tiền của mình. Anh ta thắng sáu lần liên tiếp và gọi đó là kỹ năng. Anh ta thua sáu lần liên tiếp và gọi đó là một chuỗi đen đủi, hoặc một cái bàn gian lận, hoặc một dấu hiệu để cược gấp đôi. Cả hai cảm giác đều là tiếng ồn. Quant không cảm thấy chuỗi thắng thua, bởi vì anh ta đã đo lường sự biến động trước và đã biết rằng lợi thế sẽ không lộ diện trong hàng trăm lần cược. Anh ta không phải đang kỷ luật. Anh ta chỉ đơn giản biết tiếng gầm kéo dài bao lâu trước khi tiếng thì thầm chiến thắng, và anh ta lên kế hoạch để vẫn còn ở bàn chơi khi điều đó xảy ra.
3. Rủi ro phá sản (Risk of ruin) - liệu tiếng ồn có thể giết chết bạn trước khi lợi thế được đền đáp?
R = ( q / p )^N
Cơ hội bạn chạm đến con số không. p = xác suất thắng, q = 1 - p, N = số lần cược mà vốn của bạn có thể chịu đựng.
q / p = 0,82 → N = 4 : phá sản 45% · N = 20 : phá sản dưới 2%
Bây giờ hai con đường thực sự rẽ nhánh. Phá sản là một cuộc đua giữa lợi thế và phương sai của bạn, và thứ quyết định tỷ lệ cược của cuộc đua đó không phải là đồng xu. Đó là số tiền bạn đặt cược. Đo lường vốn của bạn theo đơn vị, trong đó một đơn vị là một lần cược. Đặt cược một phần tư số vốn của bạn và bạn đang mang khoảng bốn đơn vị đệm, có nghĩa là 45% khả năng bạn chạm đến con số không tại một thời điểm nào đó ngay cả khi đồng xu nghiêng về phía bạn. Đặt cược một phần hai mươi và bạn mang hai mươi đơn vị, và cơ hội phá sản giảm xuống dưới hai phần trăm.
Cùng một đồng xu. Cùng một lợi thế +0,10. Cùng một cược vào mặt ngửa. Con bạc cược lớn vì thắng lớn là mục đích, vì vậy anh ta nắm giữ ba hoặc bốn đơn vị và sống cách một chuỗi thua xấu khỏi kết thúc. Quant cược nhỏ vì tồn tại là mục đích, vì vậy anh ta nắm giữ hai mươi đơn vị và cùng một chuỗi thua xấu chỉ là một vết xước. Không ai gặp xui xẻo. Một trong số họ chỉ đơn giản là đã cho phương sai đủ không gian để chạm đến sàn nhà.
4. Tiêu chí Kelly (The Kelly criterion) - chính xác bạn nên cược bao nhiêu?
f* = ( b · p - q ) / b
Phần trăm vốn giúp nó phát triển nhanh nhất. b = tỷ lệ cược ròng (ở đây là 1), p và q như trên.
f* = (1 × 0,55 - 0,45) / 1 = 0,10 → cược 10% số vốn
Công thức thứ ba cho bạn biết rằng kích thước cược quyết định sự sống còn. Kelly cho bạn biết kích thước chính xác biến sự sống còn thành tăng trưởng. Đối với đồng xu của chúng ta, câu trả lời là mười phần trăm bất cứ thứ gì bạn hiện đang nắm giữ. Không phải mười phần trăm mãi mãi - mười phần trăm của con số mới, nhỏ hơn sau một lần thua, mười phần trăm của con số mới, lớn hơn sau một lần thắng. Cược ít hơn mức này và bạn tăng trưởng chậm hơn mức có thể. Cược nhiều hơn và bạn thêm rủi ro nhanh hơn bạn thêm lợi nhuận, và vượt quá một điểm nhất định, bạn đi lùi.
Con số kết thúc cuộc tranh luận là tốc độ tăng trưởng dài hạn ở mỗi kích thước cược. Nó không phải là kết quả đô la trung bình. Đó là tốc độ tiền của bạn thực sự tăng trưởng kép dọc theo con đường bạn sống:
g(f) = p · ln(1 + f) + q · ln(1 - f)
Theo dõi tốc độ tăng trưởng đó qua các kích thước cược trên cùng một lợi thế +0,10 và hình dạng kể toàn bộ câu chuyện. Cược 5% và bạn tăng trưởng ở mức +0,38% mỗi lần tung - an toàn, nhưng để lại tiền trên bàn. Cược 10% theo tỷ lệ Kelly và bạn đạt đỉnh ở mức +0,50%. Cược 20%, gấp đôi Kelly, và tăng trưởng giảm xuống chính xác bằng không - tất cả rủi ro thêm vào đó chẳng mua được gì. Cược 35% và bạn đã bắt đầu thua lỗ ở mức -2,9% mỗi lần tung. Cược 50%, giống như con bạc đuổi theo cảm giác mạnh, và bạn tăng trưởng kép ở mức -8,9% mỗi lần tung trên một đồng xu có lợi cho bạn.
Đọc đường cong một lần và bạn không thể không nhìn thấy nó. Tăng trưởng đạt đỉnh ở mức cược Kelly mười phần trăm, ở mức nửa phần trăm yên tĩnh mỗi lần tung. Ở kích thước gấp đôi, hai mươi phần trăm, tăng trưởng đã bằng không - tất cả rủi ro thêm vào đó chẳng mua được gì. Và con bạc, cược một nửa số vốn của mình để cảm nhận điều gì đó, đang tăng trưởng kép ở mức âm chín phần trăm mỗi lần tung trên một đồng xu có lợi cho anh ta. Anh ta có một lợi thế tích cực và một số phận tiêu cực. Ranh giới giữa hai điều đó là một kích thước cược, và nó được vẽ ra ngay tại đây.
5. Tăng trưởng hình học (Geometric growth) - tại sao giá trị trung bình là một lời nói dối
g ≈ μ - σ² / 2
Những gì bạn thực sự tăng trưởng kép = lợi nhuận trung bình trừ đi một nửa phương sai. Phương sai không phải là một chú thích cuối trang. Nó là một phép trừ.
Đây là công thức kết nối bốn công thức kia lại với nhau, và nó là công thức hầu như không ai được dạy. Có hai giá trị trung bình khác nhau ẩn sau từ ngữ, và con bạc đang tối ưu hóa sai cái.
Hãy tưởng tượng một nghìn bản sao của bạn cùng thực hiện ván cược cùng một lúc. Tính trung bình số vốn cuối cùng của họ và con số luôn tăng lên, ở bất kỳ kích thước cược nào, bởi vì một vài bản sao cực kỳ may mắn kéo giá trị trung bình lên. Đó là giá trị trung bình tổng thể (ensemble average), và nó là con số trông rất tuyệt trong một bài thuyết trình. Nhưng bạn không phải là một nghìn bản sao. Bạn là một người đi một con đường xuyên thời gian, và con đường bạn đi tăng trưởng ở tốc độ hình học - giá trị trung bình, trừ đi một nửa phương sai. Biến động không chỉ là sự khó chịu bạn cảm thấy trên đường đi. Nó là một khoản thuế trực tiếp đánh vào lợi nhuận bạn giữ lại.
Phương sai mà công thức 2 đã đo lường, mà công thức 3 đã biến thành rủi ro phá sản, mà công thức 4 đã định cỡ để chống lại, chính là phương sai mà công thức 5 trừ đi khỏi sự tăng trưởng của bạn. Đó là một kẻ thù duy nhất, và năm công thức là bốn cách phòng thủ chống lại nó cộng với một cách đặt tên cho nó.
Con bạc không ngu ngốc. Anh ta đang tối ưu hóa giá trị trung bình tổng thể - con số trên tất cả những cặp song sinh may mắn mà anh ta sẽ không bao giờ là. Quant tối ưu hóa giá trị trung bình hình học, con số trên con đường duy nhất mà anh ta thực sự phải lái. Đó là toàn bộ mánh khóe. Không phải một đồng xu tốt hơn. Một giá trị trung bình tốt hơn.
Cả hai người đều đặt cùng một ván cược. Chỉ một người định giá con đường anh ta phải đi để thu về nó.
Năm công thức trong nháy mắt
Đọc năm công thức như một câu và toàn bộ nguyên tắc nằm gọn trong một hơi thở. Kỳ vọng hỏi liệu có lợi thế hay không. Biến động hỏi tiếng ồn xung quanh nó lớn đến mức nào. Rủi ro phá sản hỏi liệu tiếng ồn đó có thể giết chết bạn trước khi lợi thế được đền đáp hay không. Kelly hỏi nên đặt cược bao nhiêu để nó không bao giờ làm vậy. Và tăng trưởng hình học giải thích tại sao giá trị trung bình mà mọi người trích dẫn không phải là con số bạn thực sự mang về nhà.
Hãy chú ý mỗi công thức thực sự nói về điều gì. Chỉ có một kẻ thù trong toàn bộ câu chuyện này, và đó là phương sai. Biến động đo lường nó. Rủi ro phá sản biến nó thành xác suất chạm đến con số không. Kelly định cỡ cược của bạn chống lại nó. Tăng trưởng hình học cho thấy nó âm thầm trừ đi từ mỗi đô la bạn tăng trưởng kép. Bốn công thức hướng vào một thứ duy nhất, cộng với kỳ vọng để cho bạn biết thứ đó đáng để chiến đấu hay không.
Con bạc không bao giờ đặt tên cho kẻ thù đó, vì vậy anh ta dành cả đời để chiến đấu với đồng xu - đuổi theo các chuỗi thắng, đổ lỗi cho may mắn, cược gấp đôi để gỡ hòa. Quant đặt tên cho nó một lần và dành cả đời để quản lý nó thay vào đó. Đó là toàn bộ khoảng cách giữa họ. Cùng một đồng xu. Cùng một lợi thế. Cùng một cược vào mặt ngửa, mỗi lần. Một người đã định giá phương sai và người kia đã trả giá cho nó.
Học năm công thức và cờ bạc lặng lẽ biến thành một công việc.
