Afirmación: La IA puede generar avances científicos.
Prueba: Un modelo interno de OpenAI resolvió la conjetura más famosa de geometría discreta, concretamente la optimalidad (o falta de ella) de la cuadrícula para el problema de la distancia unidad. Esta conjetura no había visto ningún progreso, a pesar del gran interés, desde su formulación hace 80 años. (¡Aunque hubo mucha actividad y progreso A SU ALREDEDOR!)
Permítanme usar este hilo para explicar concretamente lo que sucedió. También pueden encontrar explicaciones a varios niveles de complejidad en nuestra publicación del blog, en el artículo complementario escrito por matemáticos de primer nivel mundial (que aparecerá en arXiv hoy más tarde), en el informe con la demostración original de la IA, y en la cadena de pensamiento (reescrita) del modelo resolviendo el problema.
Bien, ¿de qué estamos hablando? La pregunta es ridículamente simple: si coloco n puntos en el plano, ¿cuántas distancias entre esos puntos pueden ser iguales? (Reescalando, también podemos preguntar cuántas de esas distancias pueden ser iguales a 1, de ahí el nombre "problema de la distancia unidad"). Bueno, ciertamente podrías poner un punto en el centro de un círculo y todos los demás en un círculo centrado en ese punto, lo que resultaría en n-1 distancias iguales. Y obviamente hay como máximo n²/2 distancias. Entonces, ¿cuál es la verdad? ¿Lo mejor que se puede hacer es del orden de n o del orden de n²?
Cuando Erdős introdujo el problema en 1946, analizó la construcción más natural para este problema: colocar puntos en una simple cuadrícula. Bien, un punto tiene ahora 4 vecinos en esta cuadrícula, por lo que ciertamente hay al menos del orden de 2
distancias que son iguales (2n y no 4n por el doble conteo). Pero seamos un poco más astutos: en lugar de mirar los vértices a distancia 1 (digamos que la cuadrícula tiene aristas de longitud unitaria), podríamos mirar los vértices que están a distancia √5 = √(1+2²). Simplemente dibuja un pequeño diagrama y verás que hay 8 puntos a esa distancia. De hecho, básicamente te mueves a lo largo de una forma de L girada de cualquier manera (y hay 8 formas de hacerlo). Lo que Erdős demostró (y daré la prueba a continuación) es que se puede seguir así en potencias de 2, hasta aproximadamente u(n) = 2^{log(n)/loglog(n)}. Esto significa que la cuadrícula tiene al menos alrededor de u(n)
distancias que son iguales, y de hecho este cálculo es óptimo para la cuadrícula. Nótese que u(n)*n = n^{1+o(1)} (específicamente, n^{1+cst/loglog(n)}).
Lo que Erdős conjeturó es que la cuadrícula es esencialmente óptima: cualquier configuración de puntos debería tener como máximo n^{1+o(1)} distancias iguales. Este es el problema que no vio ningún progreso en los últimos 80 años, nuevamente a pesar del gran interés dada lo básica y natural que es esta pregunta. Según mi entendimiento, Erdős creía firmemente que la cuadrícula es óptima, y de hecho en el problema estrechamente relacionado (introducido en el mismo artículo de 1946) de distancias distintas, su intuición fue validada. El problema de distancias distintas es simplemente la versión opuesta de la pregunta, donde se pregunta cuál es el número mínimo de distancias distintas que pueden formar n puntos. La cuadrícula te da n/√(log(n)) distancias distintas, y un artículo innovador de Guth y Katz hace 10 años demostró que esto es esencialmente óptimo con un límite inferior de n/log(n). En otras palabras: todo apuntaba a que la cuadrícula también era un candidato óptimo para el problema de la distancia unidad.
Aquí es donde entra el modelo interno de OpenAI. De hecho, REFUTÓ FUERTEMENTE esta creencia largamente sostenida y encontró una nueva construcción (alucinante) con un número de distancias iguales del orden de n^{1+δ} para algún δ>0. Para decir algunas palabras sobre cómo el modelo logró este avance, primero necesito contarles un poco más sobre la prueba de Erdős y de dónde viene el 2^{log(n)/loglog(n)}. Resulta que los números primos están al acecho.
Supondremos dos cosas sobre los números primos: primero, el teorema de los números primos que dice que hay alrededor de n/log(n) primos por debajo de n (bueno, en realidad necesitamos una versión ligeramente más refinada, pero no importa para el nivel de esta exposición). Segundo, si un primo es igual a 1 módulo 4, entonces se factoriza sobre los enteros gaussianos (que son enteros de la forma a+ib con a y b enteros), es decir, en este caso p = z \bar{z}. Por ejemplo, 5 = (1+2i)(1-2i), y esto debería recordarles arriba cuando contamos 8 vértices a distancia √5 = √(1+2²). Bien, ahora tomamos los primeros k primos que son iguales a 1 módulo 4, p₁, …, pₖ, y consideramos el número R = p₁…pₖ = z₁ \bar{z₁} … zₖ \bar{zₖ}. El punto clave es que obtenemos 2^k enteros gaussianos a partir de esto con módulo igual a √R, seleccionando para cada primo pᵢ tomar ya sea zᵢ o \bar{zᵢ} y luego tomar su producto (crucialmente usamos que el módulo es multiplicativo y que la conjugación preserva el módulo). En otras palabras, hemos encontrado 2^k puntos a distancia √R del origen en la cuadrícula. (Para ser precisos, también tenemos que demostrar que estos puntos son distintos, que es donde la factorización única en Z[i] se vuelve importante, y algo que será clave en la nueva demostración, pero ignoremos eso aquí). Ahora solo necesitamos ver qué tan grande podemos tomar k mientras mantenemos √R < √n (siendo esto último la longitud lateral de una cuadrícula con n puntos). Tenemos log(R) = Σᵢ₌₁ᵏ log(pᵢ) que, por el teorema de los números primos, es aproximadamente Σᵢ₌₁ᵏ log(i log(i)) que básicamente es k log(k). Por lo tanto, necesitamos k log(k) menor que log(n), así que k debería ser como log(n)/loglog(n), y obtenemos el 2^k = 2^{log(n)/loglog(n)} reclamado.
El argumento de un párrafo anterior (ingenioso, se los concedo) ha sido el estado del arte durante 80 años. Ahora, lo que hizo la IA es bastante loco, en mi opinión. En primer lugar, como se puede ver en la cadena de pensamiento (CoT), casi de inmediato decidió intentar mejorar la construcción de la cuadrícula, que es lo contrario de lo que la mayoría de los matemáticos habían estado intentando hasta ahora. Según mi limitada comprensión, la estrategia a la que llegó (y que ejecutó perfectamente) es más o menos así: ¿no sería genial si hubiera más formas de dividir los primos? Tal vez si consideráramos otro cuerpo diferente a Q, uno de grado más alto, entonces esto podría funcionar con los enteros Z reemplazados por el anillo de enteros de ese cuerpo. Tal vez en lugar de 2^k podríamos obtener 2^{f k} donde f es el grado del cuerpo. La primera suposición sería mirar las extensiones ciclotómicas, pero el modelo hace eso primero en su CoT y rápidamente se da cuenta de que esto no funcionará. Sigue trabajando duro y eventualmente introduce el lenguaje de los ideales, donde puede haber factorización no única manejada por un grupo de clases. Ahora necesitas empezar a pensar en cómo construir cuerpos de alto grado con todos los parámetros controlados (primero el número de clases, pero también esto será un retículo de dimensión más alta, por lo que necesitará ser proyectado de vuelta al plano complejo, y esta proyección inducirá cierto colapso que debe ser controlado, y así sucesivamente). Aquí es donde el modelo usa un martillo de la teoría de campos de clases: las torres infinitas de Golod-Shafarevich. En este punto, probablemente sea mejor que se dirijan al artículo complementario de expertos reales en el tema para más detalles.
Bien, demos un paso atrás: básicamente, lo que hizo la IA fue que pudo usar su vasto conocimiento de todas las matemáticas para ver una conexión entre la geometría discreta y la teoría algebraica de números, y luego, crucialmente, fue capaz de encadenar magistralmente el argumento, con cálculos a nivel de experto en cada paso. Es verdaderamente un resultado innovador, pero al mismo tiempo también es cierto que el modelo no "inventó" ninguna "matemática nueva" (digamos, no inventó una teoría de campos de clases alternativa, sea lo que sea que eso signifique). Pero este es el punto crucial: simplemente ser capaz de conocer profundamente todos los resultados en un campo científico, y ser capaz de usar todos los argumentos conocidos de manera experta y con la elección correcta de parámetros, eso por sí solo puede llevar a una tonelada de avances, y esto no se limita solo a las matemáticas; este tipo de ejecución experta (extremadamente) sólida es el pan de cada día de muchos, muchos avances científicos.
Finalmente, una palabra sobre lo que esto significa para las matemáticas en el futuro. El artículo complementario tiene muchas reflexiones al respecto de matemáticos líderes, así que es mejor leer lo que ELLOS tienen que decir. Pero una cosa interesante de notar es que NO estamos enviando la demostración del modelo a arXiv. De hecho, ningún autor humano puede afirmar haber contribuido en el sentido tradicional (aunque, por supuesto, es realmente el fruto de todos los investigadores humanos en OpenAI que han creado este increíble modelo, así como de la humanidad en general que ha desarrollado las matemáticas durante milenios...). Por otro lado, el artículo complementario de humanos va más allá de simples reflexiones sobre la importancia del momento; también digiere la demostración, la pone en un contexto más amplio, e incluso la simplifica un poco. Si bien la comunidad aún tiene mucho trabajo por hacer para adaptarse completamente a estos nuevos desarrollos, creemos que este principio de separar la demostración de la IA de la comprensión humana de la misma será una pieza importante del rompecabezas.
