같은 동전. 같은 면. 같은 방향, 매번. 한 사람은 재산을 불리고 다른 한 사람은 제로가 된다 - 그 이유는 그가 확인하는 데 신경 쓰지 않은 산술에 있다.
두 사람이 같은 베팅을 한다. 약간 무게가 실린 동전이 55% 확률로 앞면이 나온다. 앞면에 걸면 동일한 배당을 받는다 - 1달러를 걸어 1달러를 번다. 뒷면에 걸면 단순히 더 자주 틀린다. 두 사람 모두 동전을 완벽히 이해한다. 둘 다 매번 앞면에 건다. 숨겨진 정보도, 더 빠른 데이터 피드도, 비밀도 없다. 그들은 동일한 우위를 가지고 있다.
천 번을 던져보면 한 사람은 부자가 된다. 다른 한 사람은 파산한다. 동전이 그를 배신해서가 아니다. 그는 계속해서 자신에게 유리하게 작용하는 동전에서 파산한다. 두 사람의 차이는 지식이 아니다. 그것은 다섯 개의 공식이며, 그중 어느 것도 어렵지 않다. 이것이 퀀트와 도박꾼의 모든 차이점이다.
1. 기대값 - 우위가 아예 존재하는가?
E = (W × A) - (L × B)
베팅당 평균 결과. W = 승률, A = 평균 승리 금액, L = 패률, B = 평균 손실 금액.
E = (0.55 × 1) - (0.45 × 1) = 달러당 +0.10
기대값은 퀀트가 가장 먼저 계산하는 것이고, 도박꾼이 대개 올바르게 이해하는 유일한 것이다. 우리 동전은 던질 때마다 평균적으로 달러당 10센트를 벌어준다. 그것은 실제 우위다. 카지노라면 그걸 위해 죽을 수도 있다. 여기까지는 퀀트와 도박꾼이 같은 출발점에 서서 동일한 +0.10을 가지고 있다.
도박꾼이 알아차리지 못하는 것은 이것이다. 기대값은 당신이 게임에 참여할지 여부를 알려줄 뿐이다. 일단 참여한 후에 어떻게 살아남을지에 대해서는 아무것도 말해주지 않는다. 여기서 양수는 입장권일 뿐, 전략이 아니다. 도박꾼은 "+0.10"을 "내가 이길 거야"라고 읽는다. 퀀트는 "게임을 해도 된다는 뜻이군 - 이제 진짜 작업이 시작된다"라고 읽는다. 이후의 모든 것은 기대값이 답할 수 없는 네 가지 질문에 관한 것이다.
2. 변동성 - 우위 주변의 노이즈는 얼마나 큰가?
σ = √( E[X²] - μ² )
단일 베팅이 평균 주변에서 보이는 전형적인 변동 폭.
우위 = 0.10 σ ≈ 0.99 신호 / 노이즈 ≈ 0.10
우위는 10센트다. 한 번의 던지기 변동 폭은 약 1달러다. 그 비율이 바로 전체 문제다. 당신의 이점은 자신보다 10배 더 큰 포효 속에 묻힌 속삭임이다. 한 번의 베팅, 열 번의 베팅, 쉰 번의 베팅에서 노이즈는 신호를 완전히 압도한다. 우위는 실제하지만, 단기적으로는 보이지 않는다.
여기서 도박꾼은 돈을 건드리지도 않고 길을 잃는다. 여섯 번 연속 이기면 실력이라고 부른다. 여섯 번 연속 지면 한파, 또는 조작된 테이블, 또는 베팅을 두 배로 늘리라는 신호라고 부른다. 두 감정 모두 노이즈다. 퀀트는 연속적인 결과에 감정을 느끼지 않는다. 그는 변동성을 미리 측정했고, 우위가 수백 번의 베팅 후에야 모습을 드러낼 것임을 이미 알고 있기 때문이다. 그는 훈련된 것이 아니다. 그는 단순히 속삭임이 이기기 전에 포효가 얼마나 오래 지속되는지 알고 있으며, 그때까지 테이블에 남아 있을 계획을 세운다.
3. 파멸 위험 - 우위가 성과를 내기 전에 노이즈가 당신을 죽일 수 있는가?
R = ( q / p )^N
당신이 제로에 도달할 확률. p = 승리 확률, q = 1 - p, N = 당신의 자금이 견딜 수 있는 베팅 횟수.
q / p = 0.82 → N = 4 : 파멸 확률 45% · N = 20 : 파멸 확률 2% 미만
이제 두 길은 진짜로 갈라진다. 파멸은 당신의 우위와 변동성 사이의 경주이며, 그 경주의 확률을 결정하는 것은 동전이 아니다. 그것은 당신이 얼마나 베팅하느냐다. 자금을 단위로 측정하라. 여기서 한 단위는 한 번의 베팅이다. 자금의 4분의 1을 베팅하면 대략 4단위의 완충 장치를 가지는 셈이며, 이는 동전이 당신 편에 있어도 언젠가 제로에 도달할 확률이 45%라는 뜻이다. 20분의 1을 베팅하면 20단위를 가지게 되고, 파멸 확률은 2% 미만으로 떨어진다.
같은 동전. 같은 +0.10 우위. 같은 앞면 베팅. 도박꾼은 크게 이기는 것이 목적이므로 크게 베팅한다. 그래서 그는 3~4단위를 가지고 한 번의 나쁜 흐름에 파멸할 위험 속에 산다. 퀀트는 생존이 목적이므로 적게 베팅한다. 그래서 그는 20단위를 가지고 같은 나쁜 흐름도 가벼운 상처에 불과하다. 누구도 운이 나빴던 것이 아니다. 한 사람이 변동성에 바닥을 칠 충분한 여유를 준 것뿐이다.
4. 켈리 기준 - 정확히 얼마를 베팅해야 하는가?
f* = ( b · p - q ) / b
자금을 가장 빠르게 성장시키는 비율. b = 순 배당률 (여기서는 1), p와 q는 위와 동일.
f* = (1 × 0.55 - 0.45) / 1 = 0.10 → 자금의 10%를 베팅하라
세 번째 공식은 베팅 규모가 생존을 결정한다고 말해준다. 켈리는 생존을 성장으로 바꾸는 정확한 규모를 알려준다. 우리 동전의 경우 답은 현재 보유한 자금의 10%다. 영원히 10%가 아니다 - 손실 후에는 더 작아진 새 숫자의 10%, 승리 후에는 더 커진 새 숫자의 10%다. 이보다 적게 베팅하면 가능한 것보다 느리게 성장한다. 더 많이 베팅하면 수익보다 더 빠르게 위험을 추가하며, 어느 지점을 넘으면 오히려 후퇴한다.
논쟁을 종결짓는 숫자는 각 베팅 규모에서의 장기 성장률이다. 그것은 평균 달러 결과가 아니다. 그것은 당신이 실제로 살아가는 경로를 따라 당신의 돈이 복리로 성장하는 비율이다:
g(f) = p · ln(1 + f) + q · ln(1 - f)
동일한 +0.10 우위에서 베팅 규모에 따른 성장률을 따라가면 그 형태가 모든 것을 말해준다. 5%를 베팅하면 던지기당 +0.38%로 성장한다 - 안전하지만, 돈을 남겨두는 것이다. 10%의 켈리 비율을 베팅하면 +0.50%로 정점에 도달한다. 20%, 즉 켈리의 두 배를 베팅하면 성장률은 정확히 0으로 떨어진다 - 그 모든 추가 위험은 아무것도 사지 않는다. 35%를 베팅하면 이미 던지기당 -2.9%로 피를 흘리고 있다. 스릴을 쫓는 도박꾼처럼 50%를 베팅하면 당신에게 유리한 동전에서 던지기당 -8.9%로 복리 손실을 본다.
이 곡선을 한 번 보면 절대 잊을 수 없다. 성장은 10% 켈리 베팅에서 던지기당 조용한 0.5%로 정점을 찍는다. 그 두 배인 20%에서는 성장이 이미 0이다 - 그 모든 추가 위험은 아무것도 사지 않는다. 그리고 무언가를 느끼기 위해 자금의 절반을 베팅하는 도박꾼은 자신에게 유리한 동전에서 던지기당 마이너스 9%로 복리 손실을 보고 있다. 그는 긍정적인 우위와 부정적인 운명을 가지고 있다. 이 두 가지 사이의 경계선은 베팅 규모이며, 바로 여기에 그려져 있다.
5. 기하학적 성장 - 평균이 왜 거짓말인가
g ≈ μ - σ² / 2
당신이 실제로 복리로 쌓는 것 = 평균 수익률에서 분산의 절반을 뺀 값. 분산은 각주가 아니다. 그것은 빼기다.
이것은 다른 네 가지를 하나로 묶는 공식이며, 거의 아무도 배우지 못하는 것이다. '평균'이라는 단어 뒤에는 두 가지 다른 평균이 숨어 있으며, 도박꾼은 잘못된 것을 최적화하고 있다.
당신의 복제본 천 개가 모두 동시에 베팅한다고 상상해보라. 그들의 최종 자금을 평균내면 그 숫자는 항상 성장한다. 어떤 베팅 규모에서든, 소수의 엄청나게 운 좋은 복제본이 평균을 끌어올리기 때문이다. 이것은 앙상블 평균이며, 투자 설명서에서 멋져 보이는 숫자다. 하지만 당신은 천 개의 복제본이 아니다. 당신은 시간 속에서 하나의 길을 걷는 한 사람이며, 당신이 걷는 길은 기하학적 비율로 성장한다 - 평균에서 분산의 절반을 뺀 값이다. 변동성은 단지 가는 길에 느끼는 불편함만이 아니다. 그것은 당신이 유지하는 수익에 대한 직접적인 세금이다.
두 번째 공식이 측정하고, 세 번째 공식이 파멸로 전환하며, 네 번째 공식이 그에 맞춰 베팅 규모를 정한 바로 그 분산이, 다섯 번째 공식이 당신의 성장에서 빼는 바로 그 분산이다. 그것은 하나의 적이며, 다섯 개의 공식은 그것에 맞서는 네 가지 방어 방법과 그것을 명명하는 한 가지 방법이다.
도박꾼은 바보가 아니다. 그는 앙상블 평균을 최적화하고 있다 - 그가 결코 될 수 없는 운 좋은 쌍둥이들 전체의 숫자다. 퀀트는 기하학적 평균, 즉 그가 실제로 운전해야 하는 단 하나의 길에 대한 숫자를 최적화한다. 그것이 바로 그 전체 비결이다. 더 나은 동전이 아니다. 더 나은 평균이다.
둘 다 정확히 같은 베팅을 했다. 오직 한 사람만이 그것을 얻기 위해 걸어야 했던 길에 가격을 매겼다.
한눈에 보는 다섯 가지 공식
다섯 가지를 한 문장으로 읽으면 전체 규율이 한 호흡에 들어온다. 기대값은 우위가 있는지 묻는다. 변동성은 그 주변의 노이즈가 얼마나 큰지 묻는다. 파멸 위험은 그 노이즈가 우위가 성과를 내기 전에 당신을 죽일 수 있는지 묻는다. 켈리는 그것이 절대 그렇게 되지 않도록 얼마를 걸어야 하는지 묻는다. 그리고 기하학적 성장은 모두가 인용하는 평균이 실제로 당신이 가져가는 숫자가 아닌 이유를 설명한다.
각각이 실제로 무엇에 관한 것인지 주목하라. 이 전체 이야기에는 하나의 적이 있으며, 그것은 변동성이다. 변동성은 그것을 측정한다. 파멸 위험은 그것을 제로에 도달할 확률로 전환한다. 켈리는 그것에 맞서 베팅 규모를 정한다. 기하학적 성장은 그것이 당신이 복리로 쌓는 모든 달러에서 조용히 빼내는 것을 보여준다. 하나의 것을 겨냥한 네 개의 공식과, 그 일이 싸울 가치가 있는지 알려주는 기대값.
도박꾼은 그 적의 이름을 결코 부르지 않는다. 그래서 그는 평생 동전과 싸우며 보낸다 - 연속 승리를 쫓고, 운을 탓하며, 만회하기 위해 베팅을 두 배로 늘린다. 퀀트는 그 적의 이름을 한 번 부르고 평생 그것을 관리하는 데 보낸다. 그것이 그들 사이의 모든 거리다. 같은 동전. 같은 우위. 매번 같은 앞면 베팅. 한 사람은 변동성에 가격을 매겼고, 다른 한 사람은 그것을 지불했다.
다섯 가지를 배우면 도박은 조용히 직업으로 변한다.
