Affirmation : l'IA peut réaliser des percées scientifiques.
Preuve : un modèle interne d'OpenAI a résolu la conjecture la plus célèbre en géométrie discrète, à savoir l'optimalité (ou non) de la grille pour le problème des distances unitaires. Cette conjecture n'avait connu aucun progrès, malgré un grand intérêt, depuis sa formulation il y a 80 ans. (Il y a eu beaucoup d'activité et de progrès AUTOUR d'elle, certes !)
Permets-moi d'utiliser ce fil pour expliquer concrètement ce qui s'est passé. Tu peux aussi trouver des explications à différents niveaux de complexité dans notre article de blog, dans l'article compagnon rédigé par des mathématiciens de renommée mondiale (à paraître sur arxiv plus tard aujourd'hui), dans le rapport contenant la preuve originale de l'IA, et dans la chaîne de raisonnement (réécrite) du modèle résolvant le problème.
Bon, de quoi parlons-nous : la question est ridiculement simple ; si je place n points dans le plan, combien de distances entre ces points peuvent être identiques ? (En changeant d'échelle, tu peux aussi demander combien de ces distances peuvent être égales à 1, d'où le nom de problème des « distances unitaires »). Eh bien, tu pourrais certainement placer un point au centre d'un cercle et tous les autres sur un cercle centré en ce point, ce qui donnerait n-1 distances identiques. Et il y a évidemment au plus n^2/2 distances. Alors quelle est la vérité ? Le meilleur résultat possible est-il de l'ordre de n ou de l'ordre de n^2 ?
Quand Erdos a introduit le problème en 1946, il a analysé la construction la plus naturelle pour ce problème : placer des points sur une simple grille. Bon, un point a maintenant 4 voisins sur cette grille, donc il y a certainement au moins de l'ordre de 2
distances identiques (2n et non 4n à cause du double comptage). Mais soyons un tout petit peu plus malins : au lieu de regarder les sommets à distance 1 (disons que la grille a des arêtes de longueur unité), nous pourrions regarder les sommets à distance sqrt(5) = sqrt(1+2^2). Fais un petit dessin et tu verras qu'il y a 8 points à cette distance ! En effet, tu te déplaces essentiellement le long d'une forme en L orientée de toutes les manières possibles (et il y a 8 façons de le faire). Ce qu'Erdos a prouvé (et je donnerai la preuve ci-dessous) est que l'on peut continuer ainsi en puissances de 2, jusqu'à environ u(n) = 2^{log(n)/loglog(n)}. Cela signifie que la grille a au moins environ u(n)
distances identiques, et en fait ce calcul est optimal pour la grille. Notons que u(n)*n = n^{1+o(1)} (plus précisément, n^{1+cst/loglog(n)}).
Ce qu'Erdos a conjecturé, c'est que la grille est essentiellement optimale : toute configuration de points devrait avoir au plus n^{1+o(1)} distances égales. C'est le problème qui n'a connu aucun progrès au cours des 80 dernières années, malgré un grand intérêt étant donné à quel point cette question est fondamentale et naturelle. D'après ce que je comprends, Erdos croyait fermement que la grille était optimale, et en fait, pour le problème étroitement lié (introduit dans le même article de 1946 !) des distances distinctes, il a eu raison. Le problème des distances distinctes est simplement la version opposée de la question, où l'on demande quel est le nombre minimal de distances distinctes que n points peuvent former ? La grille donne n/sqrt(log(n)) distances distinctes, et un article révolutionnaire de Guth et Katz il y a 10 ans a montré que cela est effectivement essentiellement optimal avec une borne inférieure de n/log(n). En d'autres termes : tout indiquait que la grille était également un candidat optimal pour le problème des distances unitaires.
C'est là qu'intervient le modèle interne d'OpenAI. Il a en fait FORTEMENT réfuté cette croyance de longue date et a trouvé une nouvelle construction (époustouflante) avec un nombre de distances égales de l'ordre de n^{1+delta} pour un certain delta>0. Pour dire quelques mots sur la façon dont cette percée a été réalisée par le modèle, j'ai d'abord besoin de t'en dire un peu plus sur la preuve d'Erdos et d'où vient le 2^{log(n)/loglog(n)}. Il s'avère que les nombres premiers se cachent dans le coin !
Nous allons supposer deux choses à propos des nombres premiers : premièrement, le théorème des nombres premiers qui dit qu'il y a environ n/log(n) nombres premiers inférieurs à n (en fait, nous avons besoin d'une version légèrement plus raffinée, mais cela n'a pas d'importance pour le niveau de cet exposé). Deuxièmement, que si un nombre premier est égal à 1 modulo 4, alors il se factorise sur les entiers de Gauss (qui sont des entiers de la forme a+ib avec a et b entiers), à savoir dans ce cas p = z bar{z}. Par exemple 5=(1+2i)(1-2i), et cela devrait te rappeler plus haut quand nous avons compté 8 sommets à distance sqrt(5) = sqrt(1+2^2). Bon, prenons maintenant les k premiers nombres premiers égaux à 1 modulo 4, p_1, …, p_k, et considérons le nombre R=p_1…p_k = z_1 bar{z_1} … z_k bar{z_k}. Le point clé est que nous obtenons 2^k entiers de Gauss à partir de cela avec un module égal à sqrt{R}, en choisissant pour chaque nombre premier p_i soit z_i soit bar{z_i} puis en prenant leur produit (essentiellement, nous utilisons le fait que le module est multiplicatif et que la conjugaison préserve le module). En d'autres termes, nous avons trouvé 2^k points à distance sqrt{R} de l'origine sur la grille ! (Pour être précis, nous devons aussi prouver que ces points sont distincts, ce qui est là où la factorisation unique dans Z[i] devient importante, et quelque chose qui sera clé dans la nouvelle preuve, mais ignorons cela ici.) Alors maintenant, nous avons juste besoin de voir jusqu'à quelle taille nous pouvons prendre k tout en gardant sqrt{R}<sqrt{n} (ce dernier étant la longueur du côté d'une grille avec n points). Nous avons log(R) = somme_{i=1}^k log(p_i) qui, par le théorème des nombres premiers, est approximativement somme_{i=1}^k log(i log(i)) ce qui est fondamentalement k log(k). Donc nous avons besoin que k log(k) soit inférieur à log(n), donc k devrait être comme log(n)/loglog(n), et nous obtenons le 2^k annoncé = 2^{log(n)/loglog(n)}.
L'argument ci-dessus en un paragraphe (ingénieux, je te l'accorde) est resté l'état de l'art pendant 80 ans. Maintenant, ce que l'IA a fait est assez dingue à mon avis. Tout d'abord, comme on peut le voir dans le CoT, elle a presque immédiatement décidé d'essayer d'améliorer la construction de la grille, ce qui est le contraire de ce que la plupart des mathématiciens avaient essayé de faire jusqu'à présent. Dans ma compréhension limitée, la stratégie à laquelle elle est parvenue (et qu'elle a exécutée parfaitement) est à peu près la suivante : ne serait-il pas génial s'il y avait plus de façons de diviser les nombres premiers ? Peut-être que si nous considérions un autre corps que Q, un corps de degré supérieur, alors cela pourrait fonctionner avec les entiers Z remplacés par l'anneau des entiers de ce corps ? Peut-être qu'au lieu de 2^k nous pourrions obtenir 2^{f k} où f est le degré du corps ? La première idée serait de regarder les extensions cyclotomiques, mais le modèle fait cela d'abord dans son CoT et réalise rapidement que cela ne fonctionnera pas. Il continue à travailler dur et finit par introduire le langage des idéaux où il peut y avoir une factorisation non unique traitée par un groupe de classes. Maintenant, tu dois commencer à réfléchir à la façon de construire des corps de degré élevé avec tous les paramètres contrôlés (d'abord le nombre de classes, mais aussi ce sera un réseau de dimension supérieure, donc il devra être projeté sur le plan complexe, et cette projection induira un certain écrasement qui doit être contrôlé, et ainsi de suite). C'est là que le modèle utilise un marteau de la théorie des corps de classes, les tours infinies de Golod-Shafarevich. À ce stade, il est probablement préférable que tu te tournes vers l'article compagnon rédigé par des experts réels du sujet pour plus de détails !
Bon, prenons un peu de recul : essentiellement, ce que l'IA a fait, c'est qu'elle a été capable d'utiliser sa vaste connaissance de l'ensemble des mathématiques pour voir une connexion entre la géométrie discrète et la théorie algébrique des nombres, et ensuite, de manière cruciale, elle a été capable d'enchaîner magistralement l'argumentation, avec des calculs de niveau expert à chaque étape. C'est véritablement un résultat révolutionnaire, mais en même temps, il est également vrai que le modèle n'a « inventé » aucune « nouvelle mathématique » (disons qu'il n'a pas inventé une théorie alternative des corps de classes, quoi que cela puisse signifier). Mais c'est le point crucial : le simple fait de connaître profondément tous les résultats d'un domaine scientifique, et d'être capable d'utiliser tous les arguments connus avec expertise et avec le choix précis des paramètres, cela seul peut conduire à une multitude de percées, et cela ne se limite pas aux mathématiques ; ce type d'exécution experte (extrêmement) solide est le pain quotidien de très nombreuses avancées scientifiques.
Enfin, un mot sur ce que cela signifie pour les mathématiques à l'avenir. L'article compagnon contient beaucoup de réflexions à ce sujet de la part de mathématiciens de premier plan, donc il vaut mieux lire ce qu'ILS ont à dire. Mais une chose intéressante à noter est que nous ne soumettons PAS la preuve du modèle à arxiv. En effet, aucun auteur humain ne peut revendiquer avoir contribué au sens traditionnel du terme (bien que ce soit bien sûr le fruit de tous les chercheurs humains d'OpenAI qui ont créé ce modèle incroyable, ainsi que de l'humanité en général qui développe les mathématiques depuis des millénaires ...). D'un autre côté, l'article compagnon rédigé par des humains va au-delà de simples réflexions sur la signification du moment ; il digère également la preuve, la replace dans un contexte plus large, et la simplifie même un peu. Bien que la communauté ait encore beaucoup de travail pour s'adapter pleinement à ces nouveaux développements, nous croyons que ce principe de séparation de la preuve de l'IA de la compréhension humaine sera une pièce importante du puzzle.
