Affermazione: L’IA può realizzare scoperte scientifiche.
Prova: Un modello interno di OpenAI ha risolto la più famosa congettura della geometria discreta, ovvero l’ottimalità (o meno) della griglia per il problema della distanza unitaria. Questa congettura non aveva visto alcun progresso, nonostante un grande interesse, dalla sua nascita 80 anni fa. (C’è stata molta attività e progresso INTORNO ad essa, però!)
Lasciatemi usare questo thread per spiegare concretamente cosa è successo. Potete anche trovare spiegazioni a vari livelli di complessità nel nostro blogpost, nel paper complementare scritto da matematici di fama mondiale (che apparirà su arXiv più tardi oggi), nel report con la dimostrazione originale dell’IA, e nella catena di pensiero (riscritta) del modello che risolve il problema.
Ok, di cosa stiamo parlando: la domanda è stupidamente semplice; se metto n punti nel piano, quante distanze tra questi punti possono essere uguali? (Riscalando, si può anche chiedere quante di queste distanze possono essere uguali a 1, da cui il nome “problema della distanza unitaria”). Beh, certamente si potrebbe mettere un punto al centro di un cerchio e tutti gli altri su un cerchio centrato in questo punto, il che darebbe n-1 distanze uguali. E ovviamente ci sono al massimo n²/2 distanze. Quindi qual è la verità? Il miglior risultato possibile è dell’ordine di n o dell’ordine di n²?
Quando Erdős introdusse il problema nel 1946, analizzò la costruzione più naturale per questo problema: mettere i punti su una semplice griglia. Ok, quindi un punto ha 4 vicini su questa griglia, quindi certamente ci sono almeno dell’ordine di 2
distanze che sono uguali (2n e non 4n a causa del doppio conteggio). Ma siamo un po’ più furbi: invece di guardare i vertici a distanza 1 (diciamo che la griglia ha lati di lunghezza unitaria), potremmo guardare i vertici che sono a distanza √5 = √(1+2²). Disegnate un semplice schizzo e vedrete che ci sono 8 punti a quella distanza! Infatti, ci si muove essenzialmente lungo una forma a L in qualsiasi direzione (e ci sono 8 modi per farlo). Quello che Erdős dimostrò (e darò la dimostrazione qui sotto) è che si può continuare così in potenze di 2, fino a circa u(n) = 2^{log(n)/loglog(n)}. Quindi significa che la griglia ha almeno circa u(n)
distanze uguali, e infatti questo calcolo è ottimale per la griglia. Notate che u(n)*n = n^{1+o(1)} (nello specifico, n^{1+cst/loglog(n)}).
Quello che Erdős congetturò è che la griglia è essenzialmente ottimale: qualsiasi configurazione di punti dovrebbe avere al massimo n^{1+o(1)} distanze uguali. Questo è il problema che non ha visto alcun progresso negli ultimi 80 anni, ancora una volta nonostante il grande interesse per quanto questa domanda sia basilare e naturale. Per quanto ne so, Erdős credeva fermamente che la griglia fosse ottimale, e infatti nel problema strettamente correlato (introdotto nello stesso paper del 1946!) delle distanze distinte è stato confermato. Il problema delle distanze distinte è semplicemente la versione opposta della domanda, in cui si chiede qual è il numero minimo di distanze distinte che n punti possono formare? La griglia fornisce n/√(log(n)) distanze distinte, e un paper rivoluzionario di Guth e Katz 10 anni fa ha mostrato che questo è effettivamente essenzialmente ottimale con un limite inferiore di n/log(n). In altre parole: tutto puntava al fatto che la griglia fosse anche un candidato ottimale per il problema della distanza unitaria.
È qui che entra in gioco il modello interno di OpenAI. Ha effettivamente SCONFESSATO con forza questa convinzione di lunga data e ha trovato una nuova costruzione (sbalorditiva) con un numero di distanze uguali dell’ordine di n^{1+δ} per qualche δ>0. Per dire due parole su come questo breakthrough è stato ottenuto dal modello, devo prima raccontarvi un po’ di più sulla dimostrazione di Erdős e da dove viene quel 2^{log(n)/loglog(n)}. A quanto pare, i numeri primi si nascondono nell’ombra!
Assumeremo due cose sui numeri primi: primo, il teorema dei numeri primi che dice che ci sono circa n/log(n) numeri primi sotto n (beh, in realtà abbiamo bisogno di una versione leggermente più raffinata, ma non importa per il livello di questa esposizione). Secondo, che se un primo è uguale a 1 modulo 4, allora si fattorizza sugli interi gaussiani (che sono interi della forma a+ib con a e b interi), cioè in questo caso p = z bar{z}. Ad esempio 5=(1+2i)(1-2i), e questo dovrebbe ricordarvi di quando sopra abbiamo contato 8 vertici a distanza √5 = √(1+2²). Ok, quindi ora prendiamo i primi k primi uguali a 1 modulo 4, p_1, …, p_k, e consideriamo il numero R = p_1…p_k = z_1 bar{z_1} … z_k \bar{z_k}. Il punto chiave è che otteniamo 2^k interi gaussiani da questo con modulo uguale a √R, selezionando per ogni primo p_i di prendere o z_i o bar{z_i} e poi prendere il loro prodotto (fondamentalmente usiamo che il modulo è moltiplicativo e che la coniugazione preserva il modulo). In altre parole, abbiamo trovato 2^k punti a distanza √R dall’origine sulla griglia! (Per essere precisi, dobbiamo anche dimostrare che questi punti sono distinti, ed è qui che la fattorizzazione unica in Z[i] diventa importante, e qualcosa che sarà chiave nella nuova dimostrazione, ma ignoriamo questo per ora.) Quindi ora dobbiamo solo vedere quanto grande possiamo prendere k mantenendo √R < √n (quest’ultimo è la lunghezza del lato di una griglia con n punti). Abbiamo log(R) = sum_{i=1}^k log(p_i) che per il teorema dei numeri primi è approssimativamente sum_{i=1}^k log(i log(i)) che è fondamentalmente k log(k). Quindi abbiamo bisogno che k log(k) sia minore di log(n), quindi k dovrebbe essere circa log(n)/loglog(n), e otteniamo il 2^k = 2^{log(n)/loglog(n)} dichiarato.
L’argomento di un solo paragrafo sopra (astuto, ve lo concedo) è rimasto lo stato dell’arte per 80 anni. Ora, quello che l’IA ha fatto è piuttosto pazzesco, secondo me. Prima di tutto, come si può vedere nella CoT, ha quasi immediatamente deciso di provare a migliorare la costruzione della griglia, che è l’opposto di ciò che la maggior parte dei matematici aveva cercato di fare fino ad ora. Nella mia limitata comprensione, la strategia a cui è arrivata (e che ha eseguito perfettamente) è più o meno questa: non sarebbe fantastico se ci fossero più modi di dividere i primi? Forse se considerassimo un altro campo diverso da Q, uno di grado superiore, allora questo potrebbe funzionare sostituendo gli interi Z con l’anello degli interi di quel campo? Forse invece di 2^k potremmo ottenere 2^{f k} dove f è il grado del campo? Il primo tentativo sarebbe guardare le estensioni ciclotomiche, ma il modello lo fa prima nella sua CoT e si rende rapidamente conto che non funzionerà. Continua a lavorare sodo e alla fine introduce il linguaggio degli ideali, dove ci può essere fattorizzazione non unica gestita da un gruppo di classi. Ora bisogna iniziare a pensare a come costruire campi di grado elevato con tutti i parametri controllati (prima il numero di classe, ma anche questo sarà un reticolo di dimensione superiore, quindi dovrà essere proiettato di nuovo sul piano complesso, e questa proiezione indurrà un collasso che deve essere controllato, e così via). È qui che il modello usa un martello dalla teoria dei campi di classi, le torri infinite di Golod-Shafarevich. A questo punto è probabilmente meglio che andiate direttamente al paper complementare scritto da veri esperti sull’argomento per ulteriori dettagli!
Ok, facciamo un passo indietro: fondamentalmente, quello che l’IA ha fatto è stato usare la sua vasta conoscenza di tutta la matematica, per vedere una connessione tra geometria discreta e teoria algebrica dei numeri, e poi, crucialmente, è stata in grado di concatenare magistralmente l’argomento, con calcoli a livello di esperto in ogni passaggio. È veramente un risultato rivoluzionario, ma allo stesso tempo è anche vero che il modello non ha “inventato” alcuna “nuova matematica” (diciamo che non ha inventato una teoria dei campi di classi alternativa, qualunque cosa ciò significhi). Ma questo è il punto cruciale: semplicemente essere in grado di conoscere profondamente tutti i risultati in un campo scientifico, e essere in grado di usare tutti gli argomenti noti con competenza e con la giusta scelta di parametri, questo da solo può portare a una miriade di scoperte, e questo non è limitato solo alla matematica, questo tipo di esecuzione esperta (estremamente) solida è il pane quotidiano di molti, molti progressi scientifici.
Infine, una parola su cosa questo significhi per la matematica in futuro. Il paper complementare ha molte riflessioni su questo da parte di matematici di spicco, quindi è meglio leggere direttamente COSA hanno da dire loro. Ma una cosa interessante da notare è che NON stiamo sottoponendo la dimostrazione del modello su arXiv. Infatti nessun autore umano può rivendicare di aver contribuito nel senso tradizionale (anche se ovviamente è il frutto di tutti i ricercatori umani in OpenAI che hanno creato questo modello fantastico, così come dell’umanità in generale che ha sviluppato la matematica per millenni...). D’altra parte, il paper complementare scritto da umani va oltre le semplici riflessioni sul significato del momento: digerisce anche la dimostrazione, la inserisce in un contesto più ampio e la semplifica persino un po’. Mentre la comunità ha ancora molto lavoro da fare per adattarsi completamente a questi nuovi sviluppi, crediamo che questo principio di separare la dimostrazione dell’IA dalla comprensione umana di essa sarà un pezzo importante del puzzle.
