Alegação: a IA pode fazer descobertas científicas.
Prova: um modelo interno da OpenAI resolveu a conjectura mais famosa em geometria discreta, nomeadamente a otimização (ou falta dela) da grade para o problema da distância unitária. Essa conjectura não via progresso, apesar de muito interesse, desde sua criação há 80 anos. (Houve muita atividade e progresso AO REDOR dela!)
Deixe-me usar este tópico para explicar concretamente o que aconteceu. Você também pode encontrar explicações em diferentes níveis de complexidade em nosso blogpost, no artigo complementar escrito por matemáticos de renome mundial (que será publicado no arxiv ainda hoje), no relatório com a prova original da IA, e na cadeia de raciocínio (reescrita) do modelo resolvendo o problema.
Ok, então do que estamos falando: a pergunta é estupidamente simples; se eu colocar n pontos no plano, quantas distâncias entre esses pontos podem ser iguais? (Por redimensionamento, você pode simplesmente perguntar quantas dessas distâncias podem ser iguais a 1, daí o nome problema da "distância unitária"). Bem, certamente você poderia colocar um ponto no centro de um círculo e todos os outros pontos em um círculo centrado neste ponto, o que resultaria em n-1 distâncias iguais. E obviamente há no máximo n^2/2 distâncias. Então, qual é a verdade, o melhor que se pode fazer é da ordem de n ou da ordem de n^2?
Quando Erdős introduziu o problema em 1946, ele analisou a construção mais natural para este problema: colocar pontos em uma grade simples. Ok, então um ponto agora tem 4 vizinhos nesta grade, então certamente há pelo menos da ordem de 2
distâncias que são iguais (2n e não 4n por causa da contagem dupla). Mas vamos ser um pouco mais espertos, em vez de olhar para vértices a distância 1 (digamos que a grade tenha arestas de comprimento unitário), poderíamos olhar para vértices que estão a distância sqrt(5) = sqrt(1+2^2). Basta desenhar uma pequena figura e você verá que há 8 pontos a essa distância! De fato, você basicamente se move ao longo de uma forma de L virada de qualquer maneira (e há 8 maneiras de fazer isso). O que Erdős provou (e darei a prova abaixo) é que você pode continuar assim em potências de 2, até cerca de u(n) = 2^{log(n)/loglog(n)}. Então isso significa que a grade tem pelo menos cerca de u(n)
distâncias iguais, e, de fato, este cálculo é ótimo para a grade. Observe que u(n)*n = n^{1+o(1)} (especificamente, n^{1+cst/loglog(n)}).
O que Erdős conjecturou é que a grade é essencialmente ótima: qualquer configuração de pontos deve ter no máximo n^{1+o(1)} distâncias iguais. Este é o problema que não viu progresso nos últimos 80 anos, novamente apesar de muito interesse dado o quão básica e natural esta questão é. Pelo que entendi, Erdős acreditava fortemente que a grade é ótima, e, de fato, no problema intimamente relacionado (introduzido no mesmo artigo de 1946!) de distâncias distintas, ele foi reivindicado. O problema das distâncias distintas é simplesmente a versão oposta da questão, onde se pergunta qual é o número mínimo de distâncias distintas que n pontos podem formar? A grade fornece n/sqrt(log(n)) distâncias distintas, e um artigo inovador de Guth e Katz há 10 anos mostrou que isso é de fato essencialmente ótimo com um limite inferior de n/log(n). Em outras palavras: tudo apontava para a grade ser também um candidato ótimo para o problema da distância unitária.
É aqui que o modelo interno da OpenAI entra. Ele, na verdade, REFUTOU FORTEMENTE esta crença de longa data e encontrou uma nova construção (mind blowing) com um número de distâncias iguais da ordem de n^{1+delta} para algum delta>0. Para dizer algumas palavras sobre como esse avanço foi alcançado pelo modelo, primeiro preciso contar um pouco mais sobre a prova de Erdős e de onde vem o 2^{log(n)/loglog(n)}. Acontece que os números primos estão à espreita!
Vamos assumir duas coisas sobre números primos: primeiro, o teorema dos números primos que diz que há cerca de n/log(n) primos abaixo de n (bem, na verdade precisamos de uma versão ligeiramente mais refinada, mas isso não importa para o nível desta exposição). Segundo, se um primo é igual a 1 módulo 4, então ele se fatora sobre os inteiros gaussianos (que são inteiros da forma a+ib com a e b inteiros), ou seja, neste caso p = z bar{z}. Por exemplo, 5=(1+2i)(1-2i), e isso deve lembrá-lo acima quando contamos 8 vértices a distância sqrt(5) = sqrt(1+2^2). Ok, então agora pegue os primeiros k primos que são iguais a 1 módulo 4, p_1, …, p_k, e considere o número R=p_1…p_k = z_1 bar{z_1} … z_k \bar{z_k}. O ponto chave é que obtemos 2^k inteiros gaussianos disso com módulo igual a sqrt{R}, selecionando para cada primo p_i pegar z_i ou bar{z_i} e então pegar seu produto (crucialmente, usamos que o módulo é multiplicativo e que a conjugação preserva o módulo). Em outras palavras, encontramos 2^k pontos a distância sqrt{R} da origem na grade! (Para ser preciso, também temos que provar que esses pontos são distintos, que é onde a fatoração única em Z[i] se torna importante, e algo que será chave na nova prova, mas vamos ignorar isso aqui.) Então agora só precisamos ver o quão grande podemos tomar k enquanto mantemos sqrt{R}<sqrt{n} (este último sendo o comprimento do lado de uma grade com n pontos). Temos log(R) = sum_{i=1}^k log(p_i) que, pelo teorema dos números primos, é aproximadamente sum_{i=1}^k log(ilog(i)) que é basicamente klog(k). Então precisamos que klog(k) seja menor que log(n), então k deve ser tipo log(n)/loglog(n), e obtemos o 2^k = 2^{log(n)/loglog(n)} reivindicado.
O argumento de um parágrafo acima (engenhoso, eu concedo) permaneceu o estado da arte por 80 anos. Agora, o que a IA fez é bastante louco, na minha opinião. Primeiro de tudo, como pode ser visto na Cadeia de Raciocínio, ela quase imediatamente decidiu tentar melhorar a construção da grade, que é o oposto do que a maioria dos matemáticos vinha tentando fazer até agora. No meu entendimento limitado, a estratégia que ela encontrou (e que executou perfeitamente) é mais ou menos assim: não seria ótimo se houvesse mais maneiras de dividir os primos? Talvez se considerássemos outro corpo que não Q, um de grau mais alto, então isso poderia funcionar com os inteiros Z substituídos pelo anel de inteiros desse corpo? Talvez em vez de 2^k pudéssemos obter 2^{f k} onde f é o grau do corpo? O primeiro palpite seria olhar para extensões ciclotômicas, mas o modelo faz isso primeiro em sua Cadeia de Raciocínio e rapidamente percebe que isso não vai funcionar. Continua trabalhando duro e eventualmente traz a linguagem dos ideais, onde pode haver fatoração não única que é tratada por um grupo de classes. Agora você precisa começar a pensar sobre como construirá corpos de alto grau com todos os parâmetros controlados (primeiro o número de classes, mas também esta será uma rede de dimensão superior, então precisará ser projetada de volta ao plano complexo, e esta projeção induzirá algum colapso que precisa ser controlado, e assim por diante). É aí que o modelo usa um martelo da teoria de classes de corpos, as torres infinitas de Golod-Shafarevich. Neste ponto, é provavelmente melhor você ir para o artigo complementar de especialistas no assunto para mais detalhes!
Ok, deixe-me dar um passo atrás: basicamente, o que a IA fez foi usar seu vasto conhecimento de toda a matemática para ver uma conexão entre geometria discreta e teoria algébrica dos números, e então, crucialmente, foi capaz de encadear magistralmente o argumento, com cálculos de nível especialista em cada etapa. É verdadeiramente um resultado inovador, mas ao mesmo tempo também é verdade que o modelo não "inventou" nenhuma "nova matemática" (digamos, não inventou uma teoria alternativa de classes de corpos, seja lá o que isso significaria). Mas este é o ponto crucial: meramente ser capaz de conhecer profundamente todos os resultados em um campo científico, e ser capaz de usar todos os argumentos conhecidos com maestria e com a escolha certa de parâmetros, isso por si só pode levar a uma tonelada de avanços, e isso não se limita apenas à matemática, este tipo de execução especialista (extremamente) sólida é o pão e a manteiga de muitos e muitos avanços científicos.
Finalmente, uma palavra sobre o que isso significa para a matemática daqui para frente. O artigo complementar tem muitas reflexões sobre isso de matemáticos líderes, então é melhor simplesmente ler o que ELES têm a dizer. Mas uma coisa interessante a notar é que NÃO estamos submetendo a prova do modelo ao arxiv. De fato, nenhum autor humano pode reivindicar ter contribuído no sentido tradicional (embora, é claro, seja realmente o fruto de todos os pesquisadores humanos na OpenAI que criaram este modelo incrível, bem como da humanidade em geral desenvolvendo a matemática por milênios...). Por outro lado, o artigo complementar dos humanos vai além de meras reflexões sobre o significado do momento; ele também digere a prova, a coloca em um contexto mais amplo e até a simplifica um pouco. Embora a comunidade ainda tenha muito trabalho a fazer para se adaptar totalmente a esses novos desenvolvimentos, acreditamos que este princípio de separar a prova da IA do entendimento humano dela será uma peça importante do quebra-cabeça.
