Afirmação: A IA pode fazer descobertas científicas.
Prova: Um modelo interno da OpenAI resolveu a conjectura mais famosa em geometria discreta, a saber, a otimalidade (ou falta dela) da grade para o problema da distância unitária. Esta conjectura não tinha visto nenhum progresso, apesar de muito interesse, desde seu início há 80 anos. (Houve muita atividade e progresso ao redor dela, no entanto!)
Deixe-me usar este tópico para explicar concretamente o que aconteceu. Você também pode encontrar explicações em diferentes níveis de complexidade em nosso post no blog, no artigo complementar escrito por matemáticos de renome mundial (a ser publicado no arxiv ainda hoje), no relatório com a prova original da IA, e na cadeia de pensamento (reescrita) do modelo resolvendo o problema.
Ok, então do que estamos falando: a pergunta é absurdamente simples; se eu colocar n pontos no plano, quantas distâncias entre esses pontos podem ser iguais? (Por redimensionamento, você também pode perguntar quantas dessas distâncias podem ser iguais a 1, daí o nome "problema da distância unitária"). Bem, certamente você poderia colocar um ponto no centro de um círculo e todos os outros em um círculo centrado neste ponto, o que resultaria em n-1 distâncias iguais. E obviamente há no máximo n²/2 distâncias. Então qual é a verdade, o melhor que se pode fazer é da ordem de n ou da ordem de n²?
Quando Erdős introduziu o problema em 1946, ele analisou a construção mais natural para este problema: colocar pontos em uma grade simples. Ok, então um ponto agora tem 4 vizinhos nesta grade, então certamente há pelo menos da ordem de 2
distâncias que são iguais (2n e não 4n por causa da contagem dupla). Mas sejamos um pouco mais espertos, em vez de olhar para vértices de distância 1 (digamos que a grade tenha arestas de comprimento unitário), poderíamos olhar para vértices que estão à distância √5 = √(1+2²). Basta desenhar uma pequena figura e você verá que existem 8 pontos a essa distância! De fato, você basicamente se move ao longo de uma forma de L virada de qualquer maneira (e há 8 maneiras de fazer isso). O que Erdős provou (e darei a prova abaixo) é que você pode continuar assim em potências de 2, até cerca de u(n) = 2^{log(n)/loglog(n)}. Então isso significa que a grade tem pelo menos cerca de u(n)
distâncias que são iguais, e de fato este cálculo é ótimo para a grade. Note que u(n)*n = n^{1+o(1)} (especificamente, n^{1+cst/loglog(n)}).
O que Erdős conjecturou é que a grade é essencialmente ótima: qualquer configuração de pontos deve ter no máximo n^{1+o(1)} distâncias iguais. Este é o problema que não viu nenhum progresso nos últimos 80 anos, novamente apesar de muito interesse, dada a natureza básica e natural desta questão. Pelo que entendi, Erdős acreditava firmemente que a grade é ótima, e de fato no problema intimamente relacionado (introduzido no mesmo artigo de 1946!) de distâncias distintas, ele foi confirmado. O problema das distâncias distintas é simplesmente a versão oposta da questão, onde se pergunta qual é o número mínimo de distâncias distintas que n pontos podem formar? A grade fornece n/√(log(n)) distâncias distintas, e um artigo inovador de Guth e Katz há 10 anos mostrou que isso é de fato essencialmente ótimo com um limite inferior de n/log(n). Em outras palavras: tudo apontava para a grade ser também uma candidata ótima para o problema da distância unitária.
É aqui que entra o modelo interno da OpenAI. Ele realmente DESPROVOU FORTEMENTE esta crença de longa data e encontrou uma nova construção (impressionante) com um número de distâncias iguais da ordem de n^{1+δ} para algum δ>0. Para dizer algumas palavras sobre como esse avanço foi alcançado pelo modelo, primeiro preciso contar um pouco mais sobre a prova de Erdős e de onde vem o 2^{log(n)/loglog(n)}. Acontece que os primos estão à espreita!
Vamos assumir duas coisas sobre números primos: primeiro o teorema dos números primos que diz que existem cerca de n/log(n) primos abaixo de n (bem, na verdade precisamos de uma versão ligeiramente mais refinada, mas não importa para o nível desta exposição). Segundo, que se um primo é igual a 1 módulo 4, então ele se fatora sobre os inteiros gaussianos (que são inteiros da forma a+ib com a e b inteiros), ou seja, neste caso p = z \bar{z}. Por exemplo, 5=(1+2i)(1-2i), e isso deve lembrá-lo acima quando contamos 8 vértices à distância √5 = √(1+2²). Ok, então agora pegue os primeiros k primos que são iguais a 1 módulo 4, p₁, …, pₖ, e considere o número R = p₁…pₖ = z₁ \bar{z₁} … zₖ \bar{zₖ}. O ponto chave é que obtemos 2ᵏ inteiros gaussianos a partir disso com módulo igual a √R, selecionando para cada primo pᵢ tomar zᵢ ou \bar{zᵢ} e então tomar seu produto (crucialmente usamos que o módulo é multiplicativo e que a conjugação preserva o módulo). Em outras palavras, encontramos 2ᵏ pontos à distância √R da origem na grade! (Para ser preciso, também temos que provar que esses pontos são distintos, é onde a fatoração única em Z[i] se torna importante, e algo que será fundamental na nova prova, mas vamos ignorar isso aqui.) Então agora só precisamos ver quão grande podemos tomar k enquanto mantemos √R < √n (este último sendo o comprimento do lado de uma grade com n pontos). Temos log(R) = Σ_{i=1}^{k} log(pᵢ) que pelo teorema dos números primos é aproximadamente Σ_{i=1}^{k} log(i log(i)) que é basicamente k log(k). Então precisamos de k log(k) menor que log(n), então k deve ser como log(n)/loglog(n), e obtemos o 2ᵏ = 2^{log(n)/loglog(n)} reivindicado.
O argumento acima de um parágrafo (inteligente, eu admito) permaneceu como estado da arte por 80 anos. Agora, o que a IA fez é bastante louco, na minha opinião. Primeiro de tudo, como pode ser visto na Cadeia de Pensamento, ela quase imediatamente decidiu tentar melhorar a construção da grade, que é o oposto do que a maioria dos matemáticos vinha tentando fazer até agora. No meu entendimento limitado, a estratégia que ela criou (e que executou perfeitamente) é mais ou menos assim: não seria ótimo se houvesse mais maneiras de dividir os primos? Talvez se considerássemos outro corpo além de Q, um de grau mais alto, então isso poderia funcionar com os inteiros Z substituídos pelo anel de inteiros desse corpo? Talvez em vez de 2ᵏ pudéssemos obter 2^{f k} onde f é o grau do corpo? O primeiro palpite seria olhar para extensões ciclotômicas, mas o modelo faz isso primeiro em sua Cadeia de Pensamento e rapidamente percebe que isso não funcionará. Ele continua trabalhando duro e eventualmente traz a linguagem de ideais onde pode haver fatoração não única que é tratada por um grupo de classes. Agora você precisa começar a pensar sobre como construirá corpos de alto grau com todos os parâmetros controlados (primeiro o número de classes, mas também esta será uma rede de dimensão superior, então precisará ser projetada de volta ao plano complexo, e essa projeção induzirá algum colapso que precisa ser controlado, e assim por diante). É aí que o modelo usa um martelo da teoria de corpos de classes, as torres infinitas de Golod-Shafarevich. Neste ponto, é provavelmente melhor para você ir para o artigo complementar escrito por especialistas reais no assunto para mais detalhes!
Ok, deixe-me dar um passo atrás: basicamente, o que a IA fez foi que ela foi capaz de usar seu vasto conhecimento de toda a matemática, para ver uma conexão entre geometria discreta e teoria algébrica dos números, e então, crucialmente, foi capaz de encadear magistralmente o argumento, com cálculos de nível especialista em cada etapa. É verdadeiramente um resultado inovador, mas ao mesmo tempo também é verdade que o modelo não "inventou" nenhuma "nova matemática" (digamos, não inventou uma teoria de corpos de classes alternativa, o que quer que isso significasse). Mas este é o ponto crucial: meramente ser capaz de conhecer profundamente todos os resultados em um campo científico, e ser capaz de usar todos os argumentos conhecidos de forma especializada e com a escolha certa de parâmetros, isso por si só pode levar a uma tonelada de descobertas, e isso não se limita apenas à matemática, este tipo de execução especializada (extremamente) sólida é a base de muitos e muitos avanços científicos.
Finalmente, uma palavra sobre o que isso significa para a matemática daqui para frente. O artigo complementar tem muitas reflexões sobre isso de matemáticos de renome, então é melhor ler o que ELES têm a dizer. Mas uma coisa interessante a notar é que NÃO estamos submetendo a prova do modelo ao arxiv. De fato, nenhum autor humano pode reivindicar ter contribuído no sentido tradicional (embora, claro, seja realmente o fruto de todos os pesquisadores humanos da OpenAI que criaram este modelo incrível, bem como da humanidade em geral que desenvolveu a matemática por milênios...). Por outro lado, o artigo complementar escrito por humanos vai além de apenas reflexões sobre o significado do momento, ele também digere a prova, coloca-a em um contexto mais amplo e até a simplifica um pouco. Enquanto a comunidade ainda tem muito trabalho a fazer para se adaptar totalmente a esses novos desenvolvimentos, acreditamos que este princípio de separar a prova da IA da compreensão humana dela será uma peça importante do quebra-cabeça.
