声明：AI 可以实现科学突破。
证明：OpenAI 内部的一个模型解决了离散几何中最著名的猜想，即关于单位距离问题中网格的最优性（或非最优性）。这个猜想自 80 年前提出以来，尽管引起了广泛兴趣，但一直没有取得进展（不过在其周边领域确实有不少活动和进步）。
让我用这个帖子来具体解释发生了什么。你也可以在我们的博客文章、由世界顶尖数学家撰写的配套论文（将于今天晚些时候出现在 arxiv 上）、报告（包含原始的 AI 证明）以及（重写的）模型解题思维链中找到不同复杂程度的解释。
好了，我们来聊聊具体问题：这个问题简单到令人难以置信——如果我在平面上放置 n 个点，它们之间有多少距离可以相等？（通过缩放，你也可以问这些距离中有多少个可以等于 1，因此得名"单位距离问题"）。当然，你可以把一个点放在圆心，其余的点放在以该点为圆心的圆周上，这样就有 n-1 个距离相等。而显然最多有 n^2/2 个距离。那么真实情况究竟如何？最佳结果究竟是 n 的量级还是 n^2 的量级？
当埃尔德什在 1946 年提出这个问题时，他分析了这个问题最自然的构造：将点放在一个简单的网格上。好，现在网格上的每个点有 4 个邻居，所以至少有 2n 个量级的距离相等（是 2n 而不是 4n，因为要避免重复计数）。但稍微再聪明一点，我们不看距离为 1 的顶点（假设网格边长为 1），而是看距离为 sqrt(5) = sqrt(1+2^2) 的顶点。画个小图你就会发现，有 8 个点处于那个距离！实际上，你基本上可以沿着任意方向的 L 形移动（共有 8 种方式）。埃尔德什证明了（我将在下面给出证明）你可以沿着这个思路一直走下去，按照 2 的幂次增长，最高达到约 u(n) = 2^{log(n)/loglog(n)}。这意味着网格至少有大约 u(n)×n 个相等的距离，而且这个计算对于网格来说是最优的。注意 u(n)×n = n^{1+o(1)}（具体来说是 n^{1+cst/loglog(n)}）。
埃尔德什猜测网格基本上是这个问题的最优解：任何点配置最多只能有 n^{1+o(1)} 个相等距离。这就是在过去 80 年里毫无进展的问题，尽管由于这个问题的基本性和自然性，它引起了大量关注。我的理解是，埃尔德什强烈相信网格是最优的，事实上，在密切相关的问题（在同一篇 1946 年的论文中提出！）——不同距离问题中，他的观点得到了证实。不同距离问题就是上述问题的相反版本：问 n 个点最少能形成多少个不同的距离？网格给出了 n/sqrt(log(n)) 个不同的距离，而十年前 Guth 和 Katz 的一篇突破性论文表明，这基本上是最优的，下界为 n/log(n)。换句话说，一切迹象都表明网格也是单位距离问题的最优候选。
这就是 OpenAI 内部模型登场的地方。它实际上强烈地驳斥了这个长期以来的信念，并找到了一个全新的（令人震惊的）构造，使得相等距离的数量达到了 n^{1+δ} 量级，其中 δ>0。要简单说说这个突破是如何由模型实现的，我首先需要更详细地讲讲埃尔德什的证明，以及 2^{log(n)/loglog(n)} 是从哪里来的。结果发现，素数潜藏其中！
我们将对素数做出两个假设：首先是素数定理，它指出小于 n 的素数大约有 n/log(n) 个（实际上我们需要一个稍微更精细的版本，但是对于本篇讲解的水平来说这不重要）。其次，如果一个素数模 4 等于 1，那么它可以在高斯整数（即形式为 a+ib 的整数，其中 a 和 b 是整数）上分解，即在这种情况下 p = z·bar{z}。例如 5=(1+2i)(1-2i)，这应该让你想起上面我们数出 8 个距离为 sqrt(5) = sqrt(1+2^2) 的顶点时的情况。好了，现在取前 k 个模 4 等于 1 的素数 p_1, …, p_k，考虑数 R = p_1·…·p_k = z_1·bar{z_1}·…·z_k·bar{z_k}。关键点是，通过为每个素数 p_i 选择取 z_i 或 bar{z_i}，然后将它们相乘，我们可以得到 2^k 个高斯整数，其模长都等于 sqrt{R}（关键是我们利用了模的可乘性和共轭保持模长的事实）。换句话说，我们在网格上找到了 2^k 个距离原点为 sqrt{R} 的点！（准确地说，我们还需要证明这些点是不同的，这就是 Z[i] 中唯一分解的重要之处，也是新证明中的关键，但这里我们暂且忽略。）现在，我们只需要看看在保持 sqrt{R}<sqrt{n}（后者是包含 n 个点的网格的边长）的情况下，k 可以取多大。我们有 log(R) = sum_{i=1}^k log(p_i)，根据素数定理，这大致等于 sum_{i=1}^k log(i·log(i))，基本上就是 k·log(k)。所以我们需要 k·log(k) 小于 log(n)，因此 k 应该约为 log(n)/loglog(n)，我们就得到了所声称的 2^k = 2^{log(n)/loglog(n)}。
上面这个一段话的论证（虽然我承认它很巧妙）在 80 年里一直是最先进的。而现在在我看来，AI 所做的相当疯狂。首先，正如思维链中所见，它几乎立刻决定尝试改进网格构造，这与大多数数学家迄今为止试图做的方向正好相反。据我有限的理解，它想到的策略（并且完美地执行了）大致如下：如果能有更多分解素数的方式，那不是很好吗？也许如果我们考虑另一个域而不是 Q，一个更高次的域，那么就可以用该域的整数环来代替整数 Z？也许不是 2^k，而是 2^{f·k}，其中 f 是域的次数？首先会想到分圆扩张，但模型在思维链的第一步就尝试了这一点，并迅速意识到这行不通。它继续努力工作，最终引入了理想的语言，其中存在非唯一分解，可以通过类群来处理。接下来，你需要开始思考如何在所有参数都受控的情况下构造高次域（首先是类数，但这也将是一个更高维的格，所以需要将它投影回复平面，而这个投影会引发一些需要控制的塌缩，等等）。这时模型使用了类域论中的一把大锤——来自戈洛德-沙法列维奇理论的无限塔。至此，你最好去查阅由该领域的真正专家撰写的配套论文，以了解更多细节！
好了，让我退一步来总结：基本上，AI 所做的就是利用其对整个数学的广博知识，发现了离散几何与代数数论之间的联系，然后关键的是，它能够巧妙地串联起整个论证，每一步都进行了专家级的计算。这确实是一个突破性的成果，但同时，模型并没有"发明"任何"新的数学"（比如它没有发明某种替代的类域论，不管那是什么意思）。但这一点至关重要：仅仅能够深入了解某一科学领域的所有成果，并且能够熟练地运用所有已知的论证，同时选择恰到好处的参数——仅此一点就可以带来大量的突破，而这不仅限于数学，这种（极其）扎实的专家级执行正是许多许多科学进步的核心所在。
最后，谈谈这对数学未来的意义。配套论文中有许多来自顶尖数学家的思考，所以最好直接去读他们所说的。不过有一点值得注意：我们不会将模型的证明提交到 arxiv。确实，没有任何人类作者能够声称在传统意义上做出了贡献（尽管这当然是 OpenAI 所有人类研究人员创造了这个出色模型的成果，也是整个人类数千年来发展数学的成果……）。另一方面，人类撰写的配套论文不仅仅是关于这一时刻意义的思考，它还消化了证明，将其置于更广泛的背景中，甚至做了一些简化。尽管社区还需要大量工作来完全适应这些新发展，但我们相信，将 AI 的证明与人类对其的理解分开，将是这个难题中的一个重要部分。
