Afirmación: La IA puede generar avances científicos.
Prueba: Un modelo interno de OpenAI resolvió la conjetura más famosa en geometría discreta, específicamente sobre la optimalidad (o falta de ella) de la cuadrícula para el problema de distancia unitaria. Esta conjetura no había tenido avances, a pesar del gran interés, desde su creación hace 80 años. (¡Aunque hubo mucha actividad y progreso A SU ALREDEDOR!)
Déjenme usar este hilo para explicar concretamente lo que sucedió. También pueden encontrar explicaciones con distintos niveles de complejidad en nuestra publicación en el blog, en el artículo complementario escrito por matemáticos de primer nivel mundial (que aparecerá en arxiv hoy más tarde), en el informe con la prueba original de la IA, y en la cadena de razonamiento (reescrita) del modelo resolviendo el problema.
Bien, ¿de qué estamos hablando? La pregunta es terriblemente simple: si coloco n puntos en el plano, ¿cuántas distancias entre esos puntos pueden ser iguales? (Mediante un reescalamiento, también podemos preguntar cuántas de esas distancias pueden ser iguales a 1, de ahí el nombre "problema de distancia unitaria"). Bueno, ciertamente podrías poner un punto en el centro de un círculo y todos los demás puntos sobre un círculo centrado en ese punto, lo que resultaría en n-1 distancias iguales. Y obviamente hay como máximo n²/2 distancias. Entonces, ¿cuál es la verdad? ¿Lo mejor que se puede lograr es del orden de n o del orden de n²?
Cuando Erdős introdujo el problema en 1946, analizó la construcción más natural para este problema: colocar puntos en una cuadrícula simple. Bien, entonces un punto tiene 4 vecinos en esta cuadrícula, así que ciertamente hay al menos del orden de 2
distancias que son iguales (2n y no 4n por doble conteo). Pero seamos un poco más astutos: en lugar de mirar vértices a distancia 1 (digamos que la cuadrícula tiene aristas de longitud unitaria), podríamos mirar vértices que están a distancia √5 = √(1+2²). Solo dibuja un pequeño diagrama y verás que hay 8 puntos a esa distancia. De hecho, básicamente te mueves a lo largo de una forma de L girada de cualquier manera (y hay 8 formas de hacerlo). Lo que Erdős demostró (y daré la prueba a continuación) es que puedes seguir así en potencias de 2, hasta aproximadamente u(n) = 2^{log(n)/loglog(n)}. Esto significa que la cuadrícula tiene al menos alrededor de u(n)
distancias iguales, y de hecho este cálculo es óptimo para la cuadrícula. Nótese que u(n)*n = n^{1+o(1)} (específicamente, n^{1+cst/loglog(n)}).
Lo que Erdős conjeturó es que la cuadrícula es esencialmente óptima: cualquier configuración de puntos debería tener como máximo n^{1+o(1)} distancias iguales. Este es el problema que no tuvo ningún progreso en los últimos 80 años, nuevamente a pesar del gran interés dada lo básica y natural que es esta pregunta. Según mi entendimiento, Erdős creía firmemente que la cuadrícula es óptima, y de hecho en el problema estrechamente relacionado (¡introducido en el mismo artículo de 1946!) de distancias distintas, resultó tener razón. El problema de distancias distintas es simplemente la versión opuesta de la pregunta, donde se busca cuál es el número mínimo de distancias distintas que pueden formar n puntos. La cuadrícula te da n/√(log(n)) distancias distintas, y un artículo innovador de Guth y Katz hace 10 años demostró que esto es efectivamente esencialmente óptimo con un límite inferior de n/log(n). En otras palabras: todo apuntaba a que la cuadrícula también era un candidato óptimo para el problema de distancia unitaria.
Aquí es donde entra el modelo interno de OpenAI. De hecho, REFUTÓ FUERTEMENTE esta creencia largamente sostenida y encontró una nueva construcción (alucinante) con un número de distancias iguales del orden de n^{1+δ} para algún δ>0. Para decir algunas palabras sobre cómo se logró este avance por parte del modelo, primero necesito contarles un poco más sobre la prueba de Erdős y de dónde viene el 2^{log(n)/loglog(n)}. ¡Resulta que los números primos están al acecho!
Asumiremos dos cosas sobre los números primos: primero, el teorema de los números primos que dice que hay aproximadamente n/log(n) primos menores que n (bueno, en realidad necesitamos una versión ligeramente más refinada, pero no importa para el nivel de esta exposición). Segundo, que si un primo es igual a 1 módulo 4, entonces se factoriza sobre los enteros gaussianos (que son enteros de la forma a+ib con a y b enteros), es decir, en este caso p = z · \bar{z}. Por ejemplo, 5=(1+2i)(1-2i), y esto debería recordarles cuando contamos 8 vértices a distancia √5 = √(1+2²). Bien, ahora tomemos los primeros k primos que son iguales a 1 módulo 4, p₁, …, p_k, y consideremos el número R = p₁…p_k = z₁·\bar{z₁}…z_k·\bar{z_k}. El punto clave es que obtenemos 2^k enteros gaussianos a partir de esto con módulo igual a √R, seleccionando para cada primo p_i tomar ya sea z_i o \bar{z_i} y luego tomar su producto (crucialmente, usamos que el módulo es multiplicativo y que la conjugación preserva el módulo). En otras palabras, ¡hemos encontrado 2^k puntos a distancia √R del origen en la cuadrícula! (Para ser precisos, también tenemos que demostrar que estos puntos son distintos, que es donde la factorización única en Z[i] se vuelve importante, y algo que será clave en la nueva prueba, pero ignoremos eso aquí.) Así que ahora solo necesitamos ver qué tan grande podemos tomar k mientras mantenemos √R < √n (esto último siendo la longitud del lado de una cuadrícula con n puntos). Tenemos log(R) = Σ_{i=1}^{k} log(p_i) que, por el teorema de los números primos, es aproximadamente Σ_{i=1}^{k} log(i·log(i)) que es básicamente k·log(k). Así que necesitamos que k·log(k) sea menor que log(n), por lo tanto k debería ser como log(n)/loglog(n), y obtenemos el 2^k = 2^{log(n)/loglog(n)} reclamado.
El argumento de un párrafo anterior (ingenioso, les concedo eso) ha seguido siendo el estado del arte durante 80 años. Ahora, lo que hizo la IA es bastante loco en mi opinión. En primer lugar, como se puede ver en la cadena de razonamiento, casi de inmediato decidió intentar mejorar la construcción de la cuadrícula, que es lo opuesto de lo que la mayoría de los matemáticos habían estado intentando hacer hasta ahora. Según mi limitado entendimiento, la estrategia a la que llegó (y que ejecutó perfectamente) es más o menos así: ¿no sería genial si hubiera más formas de dividir los primos? ¿Quizás si consideráramos otro cuerpo además de Q, uno de grado superior, entonces esto podría funcionar reemplazando los enteros Z por el anillo de enteros de ese cuerpo? ¿Quizás en lugar de 2^k podríamos obtener 2^(f·k) donde f es el grado del cuerpo? La primera suposición sería mirar las extensiones ciclotómicas, pero el modelo hace eso primero en su cadena de razonamiento y rápidamente se da cuenta de que esto no funcionará. Sigue trabajando duro y eventualmente introduce el lenguaje de ideales donde puede haber factorización no única manejada por un grupo de clases. Ahora tienes que empezar a pensar sobre cómo construirás cuerpos de grado superior con todos los parámetros controlados (primero el número de clase, pero también esto será un retículo de dimensión superior, por lo que deberá proyectarse de vuelta al plano complejo, y esta proyección inducirá algún colapso que necesita ser controlado, y así sucesivamente). Ahí es donde el modelo usa un martillo de la teoría de cuerpos de clases: las torres infinitas de Golod-Shafarevich. En este punto, probablemente sea mejor que se dirijan al artículo complementario escrito por expertos reales en el tema para más detalles!
Bien, déjenme dar un paso atrás: básicamente, lo que la IA hizo fue que pudo usar su vasto conocimiento de todas las matemáticas para ver una conexión entre la geometría discreta y la teoría algebraica de números, y luego, crucialmente, fue capaz de encadenar magistralmente el argumento, con cálculos a nivel de experto en cada paso. Es verdaderamente un resultado innovador, pero al mismo tiempo también es cierto que el modelo no "inventó" ninguna "matemática nueva" (digamos, no inventó una teoría de cuerpos de clases alternativa, sea lo que sea que eso signifique). Pero este es el punto crucial: simplemente poder conocer profundamente todos los resultados en un campo científico y ser capaz de usar todos los argumentos conocidos de manera experta y con la elección correcta de parámetros, eso solo puede llevar a un montón de avances, y esto no se limita solo a las matemáticas; este tipo de ejecución experta (extremadamente) sólida es el pan de cada día de muchos, muchos avances científicos.
Finalmente, una palabra sobre lo que esto significa para las matemáticas en el futuro. El artículo complementario tiene muchas reflexiones sobre eso de parte de matemáticos destacados, así que es mejor que lean lo que ELLOS tienen que decir. Pero algo interesante de notar es que NO estamos enviando la prueba del modelo a arxiv. De hecho, ningún autor humano puede reclamar haber contribuido en el sentido tradicional (aunque, por supuesto, es realmente el fruto de todos los investigadores humanos en OpenAI que han creado este increíble modelo, así como de la humanidad en general que ha desarrollado las matemáticas durante milenios...). Por otro lado, el artículo complementario de humanos va más allá de meras reflexiones sobre la importancia del momento; también digiere la prueba, la pone en un contexto más amplio e incluso la simplifica un poco. Si bien la comunidad aún tiene mucho trabajo por hacer para adaptarse completamente a estos nuevos desarrollos, creemos que este principio de separar la prueba de la IA del entendimiento humano de la misma será una pieza importante del rompecabezas.
