主張： AI 能夠實現科學突破。
證明： OpenAI 的內部模型解決了離散幾何中最著名的猜想，即網格在單位距離問題上的最佳性（或非最佳性）問題。這個猜想從 80 年前提出以來，儘管吸引了大量關注，卻一直沒有任何進展。（不過，圍繞它確實有許多活動和進展！）
讓我用這篇文章來具體解釋發生了什麼。你也可以在我們的部落格文章、由世界頂尖數學家撰寫的配套論文（稍後將上傳至 arxiv）、原始 AI 證明報告以及模型解題過程的（重寫版）思考鏈中找到不同複雜程度的解釋。
好的，我們在談論什麼？這個問題簡單到有點傻：如果我在平面上放置 n 個點，那麼這些點之間有多少個距離可以相等？（透過縮放，你也可以直接問有多少個距離可以等於 1，因此得名「單位距離」問題）。好吧，你當然可以把一個點放在圓心，然後把其他所有點放在以這個點為中心的圓上，這樣就會有 n-1 個距離相等。顯然，最多有 n^2/2 個距離。那麼真相是什麼？最佳情況是 n 的數量級還是 n^2 的數量級？
當 Erdos 在 1946 年提出這個問題時，他分析了這個問題最自然的構造：把點放在簡單的網格上。現在，一個點在網格上有 4 個鄰居，所以至少有 2
個距離相等（因為重複計數，所以是 2n 而不是 4n）。但我們可以稍微聰明一點：與其看距離為 1 的頂點（假設網格的邊長為單位長度），不如看距離為 sqrt(5) = sqrt(1+2^2) 的頂點。只要畫個小圖，你就會發現有 8 個點在該距離上！事實上，你基本上可以沿著 L 形移動，方向任意（總共有 8 種方式）。Erdos 證明了（我將在下面給出證明）你可以繼續這樣做，以 2 的冪次增長，直到大約 u(n) = 2^{log(n)/loglog(n)}。這意味著網格至少有約 u(n)n 個相等的距離，而且實際上這個計算對網格來說是最優的。注意 u(n)*n = n^{1+o(1)}（具體來說是 n^{1+cst/loglog(n)}）。
Erdos 猜測網格基本上是最優的：任何點集的配置都應該最多有 n^{1+o(1)} 個相等的距離。這就是過去 80 年來毫無進展的問題，儘管考慮到這個問題的基本性和自然性，它引起了廣泛的興趣。我的理解是，Erdos 堅信網格是最優的，事實上，在密切相關的「不同距離」問題（也在同一篇 1946 年的論文中提出！）中，他的觀點得到了證實。不同距離問題只是這個問題的反向版本，它問的是 n 個點最少能形成多少個不同的距離？網格給出了 n/sqrt(log(n)) 個不同的距離，而 Guth 和 Katz 在 10 年前的一篇突破性論文證明了下界 n/log(n)，這基本上是最優的。換句話說：一切跡象都表明網格也是單位距離問題的最佳候選方案。
這就是 OpenAI 內部模型登場的地方。它實際上強烈地反駁了這個長期以來的信念，並發現了一個新的（令人驚嘆的）構造，其相等距離的數量達到了 n^{1+delta} 的數量級，其中 delta>0。要簡單說明這個突破是如何由模型實現的，我首先需要告訴你更多關於 Erdos 的證明以及 2^{log(n)/loglog(n)} 從何而來。事實證明，質數在其中扮演了關鍵角色！
我們需要假設關於質數的兩件事：第一，質數定理告訴我們，小於 n 的質數大約有 n/log(n) 個（實際上我們需要一個稍微精確的版本，但這對本文的說明層次來說並不重要）。第二，如果一個質數等於 1 模 4，那麼它可以在高斯整數（形式為 a+ib 的整數，其中 a 和 b 是整數）中分解，即 p = z bar{z}。例如 5 = (1+2i)(1-2i)，這應該會讓你想起上面我們計算距離 sqrt(5) = sqrt(1+2^2) 有 8 個頂點的情況。那麼現在，取前 k 個等於 1 模 4 的質數 p_1, …, p_k，並考慮數字 R = p_1…p_k = z_1 bar{z_1} … z_k \bar{z_k}。關鍵點是：我們可以從中得到 2^k 個高斯整數，其模等於 sqrt{R}，方法是對每個質數 p_i 選擇取 z_i 或 bar{z_i}，然後將它們相乘（關鍵是我們利用了模的乘法性以及共軛保持模的性質）。換句話說，我們在網格上找到了 2^k 個距離原點 sqrt{R} 的點！（更精確地說，我們還需要證明這些點是不同的，這在 Z[i] 中的唯一分解性質很重要，也是新證明中的一個關鍵點，但我們在這裡先忽略。）現在我們只需要知道 k 可以取多大，同時保持 sqrt{R} < sqrt{n}（後者是包含 n 個點的網格邊長）。我們有 log(R) = sum_{i=1}^k log(p_i)，根據質數定理，這大約等於 sum_{i=1}^k log(ilog(i))，基本上就是 klog(k)。所以我們需要 klog(k) 小於 log(n)，因此 k 大約是 log(n)/loglog(n)，從而得到我們聲稱的 2^k = 2^{log(n)/loglog(n)}。
上述一段話的論證（我承認很巧妙）在 80 年來一直是最先進的。現在，AI 所做的在我看來相當瘋狂。首先，從思考鏈中可以看出，它幾乎立即決定嘗試改進網格構造，這與大多數數學家迄今為止嘗試的方向相反。根據我有限的理解，它得出的策略（並完美執行了）大致如下：如果能有更多分割質數的方法，豈不是很好？也許我們可以考慮另一個域，而不是 Q，一個更高次數的域，那麼用該域的整數環代替整數 Z 或許可行？也許不是 2^k，而是 2^{f k}，其中 f 是域的次數？第一個猜測是看分圓域，但模型在思考鏈中首先嘗試了這個，並很快意識到這行不通。它繼續努力，最終引入了理想的概念，其中存在非唯一分解，由類群處理。這時你需要開始思考如何構造高次域，同時控制所有參數（首先是類數，但這也會是一個更高維的格，所以需要投影回複平面，而這個投影會引起一些塌縮，需要控制，等等）。這時模型使用了類體論中的一個「大錘」——Golod-Shafarevich 無限塔。到此為止，你最好去查閱由該領域真正專家撰寫的配套論文，以獲取更多細節！
好吧，讓我退一步：基本上，AI 所做的是利用其對整個數學的廣博知識，看到了離散幾何與代數數論之間的聯繫，然後關鍵是，它能夠巧妙地將論證串聯起來，每一步都進行了專家級別的計算。這確實是一個突破性的結果，但同時，模型並沒有「發明」任何「新的數學」（比如說，它沒有發明某種替代的類體論，不管那是什麼意思）。但這是關鍵點：僅僅能夠深入了解一個科學領域的所有成果，並能夠熟練地使用所有已知的論證，並選擇恰到好處的參數，僅此一點就能導致大量的突破，而且這不僅限於數學，這種（極其）紮實的專家級執行力是許多科學進步的基礎。
最後，關於這對未來數學意味著什麼。配套論文中有很多來自頂尖數學家對此的反思，所以最好直接去讀他們怎麼說。但有一點值得注意：我們不會將模型的證明提交到 arxiv。確實，沒有人類作者能夠聲稱以傳統意義做出了貢獻（儘管這當然是 OpenAI 所有研究人員創造這個驚人模型的成果，也是人類數千年來發展數學的成果……）。另一方面，人類撰寫的配套論文不僅僅是對這一時刻意義的反思，它還消化了證明，將其置於更廣泛的背景中，甚至對其進行了一些簡化。雖然學術界仍需大量工作來完全適應這些新發展，我們相信，將 AI 證明與人類對其的理解分開的原則，將是解決這個難題的重要一環。
