ข้อความอ้าง: AI สามารถสร้างความก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์ได้
หลักฐาน: โมเดลภายในของ OpenAI ได้แก้ปัญหาการคาดเดาที่มีชื่อเสียงที่สุดในเรขาคณิตเชิงการจัด (discrete geometry) นั่นคือปัญหาความเหมาะสม (หรือความไม่เหมาะสม) ของตารางกริดสำหรับปัญหาเรื่องระยะทางหน่วย (unit distance problem) การคาดเดานี้ไม่มีความคืบหน้าใดๆ เลย แม้จะมีความสนใจอย่างมาก นับตั้งแต่ถูกเสนอขึ้นมาเมื่อ 80 ปีก่อน (แม้จะมีกิจกรรมและความก้าวหน้ามากมายเกิดขึ้นโดยรอบปัญหานี้!)
ให้ฉันใช้กระทู้นี้เพื่ออธิบายอย่างเป็นรูปธรรมว่าเกิดอะไรขึ้น คุณยังสามารถดูคำอธิบายในระดับความซับซ้อนต่างๆ ได้ใน บล็อกโพสต์ของเรา ใน เอกสารประกอบ ที่เขียนโดยนักคณิตศาสตร์ชั้นนำระดับโลก (จะเผยแพร่บน arxiv ในวันนี้) ใน รายงาน พร้อมบทพิสูจน์ AI ต้นฉบับ และใน ห่วงโซ่การคิดที่ถูกเขียนใหม่ ของโมเดลในการแก้ปัญหา
โอเค งั้นเรากำลังพูดถึงอะไรกัน: คำถามมันง่ายมากเลยนะ; ถ้าฉันใส่จุด n จุดบนระนาบ ระยะทางระหว่างจุดคู่ต่างๆ เหล่านี้จะเท่ากันได้กี่ระยะ? (โดยการปรับสเกล คุณก็แค่ถามว่าระยะทางเหล่านั้นกี่ระยะที่เท่ากับ 1 ได้ ดังนั้นจึงเรียกว่าปัญหา "ระยะทางหน่วย") แน่นอน คุณสามารถวางจุดหนึ่งจุดไว้ที่ศูนย์กลางของวงกลม และจุดอื่นๆ ทั้งหมดไว้บนวงกลมที่มีจุดนี้เป็นศูนย์กลาง ซึ่งจะทำให้ได้ระยะทางที่เท่ากัน n-1 ระยะ และเห็นได้ชัดว่ามีระยะทางทั้งหมดอย่างมาก n^2/2 ระยะ แล้วความจริงคืออะไรกันแน่ สิ่งที่ดีที่สุดที่ทำได้คือลำดับ n หรือลำดับ n^2?
เมื่อแอร์ดิช (Erdos) เสนอปัญหาในปี 1946 เขาวิเคราะห์โครงสร้างที่เป็นธรรมชาติที่สุดสำหรับปัญหานี้: การวางจุดบนตารางกริดธรรมดา โอเค ตอนนี้จุดหนึ่งจุดมีเพื่อนบ้าน 4 จุดบนตารางนี้ ดังนั้นแน่นอนว่าอย่างน้อยก็มีระยะทางที่เท่ากันในลำดับ 2
ระยะ (2n ไม่ใช่ 4n เพราะนับซ้ำ) แต่ลองฉลาดขึ้นอีกนิดหน่อย แทนที่จะมองจุดยอดที่ระยะ 1 (สมมติว่าตารางกริดมีความยาวด้านละ 1 หน่วย) เราอาจมองจุดยอดที่อยู่ที่ระยะ sqrt(5) = sqrt(1+2^2) ก็ได้ วาดรูปเล็กน้อยแล้วคุณจะเห็นว่ามี 8 จุดที่ระยะนั้น! อันที่จริง คุณแค่เคลื่อนที่ไปตามรูปร่าง L ในทิศทางใดก็ได้ (และมี 8 วิธีที่จะทำแบบนั้น) สิ่งที่แอร์ดิชพิสูจน์ได้ (และฉันจะให้บทพิสูจน์ด้านล่าง) คือคุณสามารถทำแบบนี้ต่อไปเรื่อยๆ เป็นกำลังของ 2 ขึ้นไปจนถึงประมาณ u(n) = 2^{log(n)/loglog(n)} ดังนั้นจึงหมายความว่าตารางกริดมีระยะทางที่เท่ากันอย่างน้อยประมาณ u(n)
ระยะ และอันที่จริง การคำนวณนี้เหมาะสมที่สุดสำหรับตารางกริดแล้ว สังเกตว่า u(n)*n = n^{1+o(1)} (โดยเฉพาะคือ n^{1+cst/loglog(n)})
สิ่งที่แอร์ดิชคาดเดาคือตารางกริดนั้นเหมาะสมที่สุดโดยพื้นฐานแล้ว: การจัดเรียงจุดใดๆ ก็ตามควรมีระยะทางเท่ากันอย่างมากที่สุด n^{1+o(1)} ระยะ นี่คือปัญหาที่ไม่มีความคืบหน้าเลยในช่วง 80 ปีที่ผ่านมา ซึ่งย้ำอีกครั้งว่าแม้จะมีความสนใจอย่างมากเนื่องจากคำถามนี้เป็นพื้นฐานและเป็นธรรมชาติอย่างไร ความเข้าใจของฉันคือแอร์ดิชเชื่ออย่างแรงกล้าว่าตารางกริดเหมาะสมที่สุด และอันที่จริงแล้ว ในปัญหาที่เกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด (ที่ถูกเสนอในบทความปี 1946 เดียวกัน!) เรื่องระยะทางที่แตกต่างกัน (distinct distances) เขาก็ได้รับการพิสูจน์ว่าถูกต้อง ปัญหาระยะทางที่แตกต่างกันนั้นเป็นเพียงคำถามในเวอร์ชันตรงกันข้าม ซึ่งถามว่าจำนวนน้อยที่สุดของระยะทางที่แตกต่างกันที่จุด n จุดสามารถก่อตัวขึ้นได้คือเท่าใด? ตารางกริดให้ระยะทางที่แตกต่างกัน n/sqrt(log(n)) ระยะ และบทความที่ก้าวล้ำโดย Guth และ Katz เมื่อ 10 ปีก่อนแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้เหมาะสมที่สุดแล้ว โดยมีขอบเขตล่างเป็น n/log(n) กล่าวอีกนัยหนึ่ง: ทุกอย่างชี้ให้เห็นว่าตารางกริดเป็นตัวเลือกที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาเรื่องระยะทางหน่วยด้วย
นี่คือจุดที่โมเดลภายในของ OpenAI เข้ามามีบทบาท มันได้พิสูจน์ว่าความเชื่อที่มีมายาวนานนี้ ผิดอย่างรุนแรง และพบโครงสร้างใหม่ (ที่เหลือเชื่อ) ซึ่งมีจำนวนระยะทางเท่ากันในลำดับ n^{1+delta} สำหรับค่า delta>0 บางค่า เพื่อจะพูดถึงเล็กน้อยว่าการก้าวล้ำนี้สำเร็จได้อย่างไรโดยโมเดลนี้ อันดับแรกฉันต้องเล่าให้คุณฟังเพิ่มเติมอีกนิดเกี่ยวกับบทพิสูจน์ของแอร์ดิช และที่มาของค่า 2^{log(n)/loglog(n)} ปรากฏว่าจำนวนเฉพาะนั้นแฝงตัวอยู่!
เราจะสมมติสองสิ่งเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ: อย่างแรกคือทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะที่บอกว่ามีจำนวนเฉพาะประมาณ n/log(n) ตัวที่ต่ำกว่า n (ที่จริงแล้วเราต้องการเวอร์ชันที่ละเอียดกว่าเล็กน้อย แต่มันไม่สำคัญสำหรับระดับของคำอธิบายนี้) อย่างที่สองคือ ถ้าจำนวนเฉพาะเท่ากับ 1 มอดุโล 4 แล้ว มันจะสามารถแยกตัวประกอบได้บนจำนวนเต็มเกาส์เซียน (Gaussian integers) (ซึ่งเป็นจำนวนเต็มในรูป a+ib โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม) กล่าวคือในกรณีนี้ p = z bar{z} ตัวอย่างเช่น 5=(1+2i)(1-2i) และสิ่งนี้ควรจะทำให้คุณนึกถึงตอนที่เรานับจุดยอด 8 จุดที่ระยะ sqrt(5) = sqrt(1+2^2) โอเค ทีนี้ลองเอาจำนวนเฉพาะ k ตัวแรกที่เท่ากับ 1 มอดุโล 4 คือ p_1, …, p_k และพิจารณาจำนวน R=p_1…p_k = z_1 bar{z_1} … z_k \bar{z_k} ประเด็นสำคัญคือเราจะได้จำนวนเต็มเกาส์เซียน 2^k ตัวจากสิ่งนี้ที่มีมอดุลัสเท่ากับ sqrt{R} โดยการเลือกสำหรับแต่ละจำนวนเฉพาะ p_i ว่าจะเอา z_i หรือ bar{z_i} แล้วคูณพวกมันเข้าด้วยกัน (สิ่งสำคัญคือเราใช้คุณสมบัติที่มอดุลัสมีผลคูณ และการสังยุค (conjugation) รักษามอดุลัสไว้) กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราพบ 2^k จุดที่ระยะ sqrt{R} จากจุดกำเนิดบนตารางกริด! (เพื่อความแม่นยำ เรายังต้องพิสูจน์ว่าจุดเหล่านี้แตกต่างกัน ซึ่งเป็นจุดที่การแยกตัวประกอบเฉพาะเดียว (unique factorization) ใน Z[i] มีความสำคัญ และจะเป็นสิ่งสำคัญในบทพิสูจน์ใหม่ด้วย แต่ขอ忽略ตรงนี้ไปก่อน) ดังนั้นตอนนี้เราก็แค่ต้องดูว่าเราสามารถทำให้ k มีค่าใหญ่แค่ไหนได้ ในขณะที่ยังคงให้ sqrt{R}<sqrt{n} (ค่าหลังคือความยาวด้านของตารางกริดที่มี n จุด) เรามี log(R) = sum_{i=1}^k log(p_i) ซึ่งโดยทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะแล้วประมาณ sum_{i=1}^k log(ilog(i)) ซึ่งโดยพื้นฐานคือ klog(k) ดังนั้นเราต้องการ klog(k) น้อยกว่า log(n) ดังนั้น k ควรจะเป็นประมาณ log(n)/loglog(n) และเราก็ได้ 2^k = 2^{log(n)/loglog(n)} ตามที่กล่าวอ้าง
ข้อโต้แย้งหนึ่งย่อหน้าข้างต้น (เป็นข้อโต้แย้งที่ฉลาดนะ ฉันยอมรับ) ยังคงเป็น SOTA (state-of-the-art) มาเป็นเวลา 80 ปีแล้ว ตอนนี้สิ่งที่ AI ทำนั้นค่อนข้างบ้ามากในความคิดของฉัน ก่อนอื่นเลย ดังที่เห็นได้ใน CoT มันเกือบจะตัดสินใจทันทีที่จะพยายามปรับปรุงโครงสร้างตารางกริด ซึ่งตรงกันข้ามกับสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่พยายามทำมาจนถึงตอนนี้ ด้วยความเข้าใจอันจำกัดของฉัน กลยุทธ์ที่มันคิดขึ้นมาได้ (และมันก็ดำเนินการได้อย่างสมบูรณ์แบบ) มีประมาณนี้: มันจะไม่ดีเหรอถ้ามีวิธีการแยกจำนวนเฉพาะมากขึ้นไปอีก? บางทีถ้าเราพิจารณาฟิลด์อื่นที่ไม่ใช่ Q ซึ่งมีดีกรีสูงกว่า มันอาจจะใช้ได้ผลกับจำนวนเต็ม Z ที่ถูกแทนที่ด้วยริงของจำนวนเต็มของฟิลด์นั้น? บางทีแทนที่จะเป็น 2^k เราอาจได้ 2^{f k} โดยที่ f คือดีกรีของฟิลด์? การเดาครั้งแรกน่าจะเป็นการดูส่วนขยายแบบไซโคลโทมิก (cyclotomic extensions) แต่โมเดลก็ทำแบบนั้นก่อนใน CoT ของมัน และก็ตระหนักได้อย่างรวดเร็วว่ามันใช้ไม่ได้ผล มันทำงานหนักต่อไป และในที่สุดก็นำภาษาของไอดีล (ideals) ซึ่งสามารถมีการแยกตัวประกอบที่ไม่เป็นเอกลักษณ์ซึ่งจัดการโดยคลาสกรุ๊ป (class group) มาใช้ ตอนนี้คุณต้องเริ่มคิดว่าคุณจะสร้างฟิลด์ดีกรีสูงโดยที่พารามิเตอร์ทั้งหมดถูกควบคุมได้อย่างไร (อย่างแรกคือ class number แต่สิ่งนี้จะเป็นแลตทิซที่มีมิติสูงกว่า ดังนั้นมันจะต้องถูกโปรเจคกลับไปยังระนาบเชิงซ้อน และการโปรเจคนี้จะทำให้เกิดการยุบตัว (collapsing) บางอย่างที่ต้องถูกควบคุม และอื่นๆ อีกมากมาย) นั่นคือจุดที่โมเดลใช้เครื่องมือหนักจากทฤษฎีสนามคลาส (class field theory) ซึ่งก็คือหอคอยอนันต์จาก Golod-Shafarevich เมื่อมาถึงจุดนี้ อาจจะดีกว่าถ้าคุณไปอ่านเอกสารประกอบโดยผู้เชี่ยวชาญที่แท้จริงในหัวข้อนี้เพื่อดูรายละเอียดเพิ่มเติม!
โอเค ให้ฉันถอยกลับมาหน่อย: โดยพื้นฐานแล้วสิ่งที่ AI ทำคือมันสามารถใช้ความรู้ที่กว้างขวางของมันในคณิตศาสตร์ทั้งหมด เพื่อมองเห็นความเชื่อมโยงระหว่างเรขาคณิตเชิงการจัดและทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต (algebraic number theory) จากนั้นสิ่งที่สำคัญคือ มันสามารถร้อยเรียงข้อโต้แย้งเข้าด้วยกันได้อย่างเชี่ยวชาญ พร้อมกับการคำนวณระดับผู้เชี่ยวชาญในทุกขั้นตอน มันเป็นผลลัพธ์ที่ก้าวล้ำอย่างแท้จริง แต่ในขณะเดียวกันก็เป็นความจริงเช่นกันที่โมเดลไม่ได้ "ประดิษฐ์" "คณิตศาสตร์ใหม่" ใดๆ (สมมติว่ามันไม่ได้คิดค้นทฤษฎีสนามคลาสทางเลือกขึ้นมา มันจะหมายถึงอะไรก็ตาม) แต่นี่คือประเด็นสำคัญ: เพียงแค่สามารถรู้ผลลัพธ์ทั้งหมดในสาขาวิทยาศาสตร์อย่างลึกซึ้ง และสามารถใช้ข้อโต้แย้งที่รู้จักทั้งหมดอย่างเชี่ยวชาญและเลือกพารามิเตอร์ที่เหมาะสมที่สุดได้นั้น เพียงเท่านี้ก็สามารถนำไปสู่ความก้าวหน้ามากมาย และนี่ไม่ได้จำกัดอยู่แค่คณิตศาสตร์เท่านั้น การดำเนินการที่เชี่ยวชาญและ (มั่นคงอย่างยิ่ง) ประเภทนี้คือหัวใจสำคัญของความก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์อีกมากมาย
สุดท้ายนี้ ข้อความเกี่ยวกับความหมายของสิ่งนี้ต่อคณิตศาสตร์ในอนาคต เอกสารประกอบมีข้อคิดเห็นมากมายเกี่ยวกับเรื่องนั้นจากนักคณิตศาสตร์ชั้นนำ ดังนั้นควรไปอ่านสิ่งที่ พวกเขา พูดจะดีกว่า แต่สิ่งหนึ่งที่น่าสนใจที่ควรสังเกตคือ เราจะ ไม่ ส่งบทพิสูจน์ของโมเดลไปยัง arxiv อันที่จริงแล้ว ไม่มีผู้เขียนที่เป็นมนุษย์คนใดสามารถอ้างว่าได้มีส่วนร่วมในความหมายดั้งเดิมได้ (แม้ว่าแน่นอนว่ามันเป็นผลของนักวิจัยมนุษย์ทุกคนใน OpenAI ที่สร้างโมเดลอันน่าทึ่งนี้ รวมถึงมวลมนุษยชาติโดยทั่วไปที่พัฒนาคณิตศาสตร์มานับพันปี...) ในทางกลับกัน เอกสารประกอบโดยมนุษย์นั้นไปไกลกว่าแค่ข้อคิดเห็นเกี่ยวกับความสำคัญของช่วงเวลานี้ มันยังย่อยบทพิสูจน์ วางไว้ในบริบทที่กว้างขึ้น และแม้กระทั่งทำให้มันง่ายขึ้นเล็กน้อย ในขณะที่ชุมชนยังคงมีงานอีกมากที่ต้องทำเพื่อปรับตัวให้เข้ากับการพัฒนาใหม่ๆ เหล่านี้อย่างเต็มที่ เราเชื่อว่าหลักการของการแยกบทพิสูจน์ของ AI ออกจากความเข้าใจของมนุษย์เกี่ยวกับมันนี้ จะเป็นชิ้นส่วนสำคัญของปริศนาต่อไป
